где
X
— вектор состояний ФНЧ;
A
— квадратная матрица состояния;
B
— вектор управления;
C
— вектор-строка для вычисления выходной
координаты.
Для проведения дальнейших выкладок удобно перейти от (2) к
уравнениям состояний ФНЧ, матрица состояний которых имеет форму
Жордана:
˙X
c
= A
д
X
c
+ B
д
i
д
(
t
);
e
ф
(
t
) = C
д
X
c
,
(3)
где
X
c
— новый вектор состояний, связанный с
X
соотношением
X
c
= P
−
1
X
(
P
−
1
— матрица обратная к матрице
P
— правых собствен-
ных векторов матрицы
A
);
A
д
= P
−
1
AP
— диагональная матрица,
содержащая на главной диагонали
λ
i
— собственные числа матрицы
A
,
i
= 1
,
2
,
3
, . . .
;
B
д
= P
−
1
B
,
C
д
= CP
. Решение (3) в интервале
времени от
t
n
до
t
n
+1
запишем как
X
c
(
t
) =
e
A
д
(
t
−
t
n
)
X
c
(
t
n
) +
t
Z
t
n
e
A
д
(
t
−
τ
)
B
д
i
д
(
τ
)
dτ,
(4)
где
e
A
Д
(
t
)
— переходная матрица;
X
c
(
t
n
)
— вектор состояний ФНЧ в
момент времени
t
n
.
Подставив в (4) выражение для тока
i
д
(
t
)
(см. рис. 3), получим
X
c
(
t
n
+1
) =
e
A
д
T
n
X
c
(
t
n
) + [
αi
n
A
−
1
д
(
e
A
д
(
T
n
−
τ
n
)
−
e
A
д
T
n
)+
+
βi
n
+1
A
−
1
д
(
e
A
д
τ
n
+1
−
E)]B
д
;
e
ф
(
t
n
+1
) = C
д
X
c
(
t
n
+1
)
,
(5)
где
A
−
1
д
— матрица, обратная
A
д
;
E
— единичная диагональная ма-
трица; коэффициенты
α, β
и
T
n
=
t
n
+1
−
t
n
в зависимости от случаев
a, b, c
и
d
определяются из табл. 1.
Таблица 1
Случай
α
β
T
n
a
0
0
T
0
−
τ
n
−
τ
n
+1
b
0
1
T
0
−
τ
n
+
τ
n
+1
c
1
0
T
0
+
τ
n
−
τ
n
+1
d
1
1
T
0
+
τ
n
+
τ
n
+1
Уравнения (5) дополним соотношением функционирования УГ и РЭ
t
n
+1
Z
t
n
ω
УГ
(
t
)
dt
= 2
πN
n
.
(6)
112 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 2
