Выбор метода обработки результатов измерений для решения задачи количественного лазерного газоанализа - page 4

Для характеристики матрицы коэффициентов системы линейных
алгебраических уравнений предложены различные количественные
характеристики, называемые числами обусловленности. Одной из та-
ких характеристик является, например, N -число Тюринга [16]:
N =
1
n kK k kK − 1 k,
где
kK k = s Xi,j ¯ ¯κj
i ¯ ¯2
— матричная норма.
Числа обусловленности не дают исчерпывающей характеристики
обусловленности матрицы, но они имеют вполне определенный вероят-
ностный смысл. Так, N -число обусловленности показывает, во сколько
раз отношение среднеквадратического значения ошибок неизвестных к
среднеквадратическому значению самих неизвестных превосходит от-
ношение среднеквадратического значения ошибок коэффициентов си-
стемы к среднеквадратическому значению самих коэффициентов.
В работе [17] для оценки влияния погрешности ∆ ~Y задания правой
части ~Y на погрешность ∆ ~Cрешения системы линейных алгебраиче -
ских уравнений ~Cиспользуют следующее неравенство :
k∆ ~Ck
k ~Ck
6 kKk kK − 1k k
∆~Yk
k~Yk
, (6)
где k ~Ck, kKk — норма вектора и матрицы соответственно .
Положительное число kK k kK− 1 k называют числом обусловленно-
сти матрицы K и обозначают cond(K ) [17].
Неравенство (6) показывает, что чем больше число обусловленно-
сти cond(K ) = kK k kK − 1k, тем сильнее ошибка в исходных данных
влияет на решение системы линейных уравнений.
На рис . 1 приведены результаты численного эксперимента по вос-
становлению концентраций компонентов газовых смесей исходя из ре-
зультатов измерений. Шум измерения моделировался случайным про-
цессом с нормальным законом распределения, нулевым средним значе -
нием и заданной дисперсией. Значения коэффициентов неселективного
поглощения полагались равными нулю. На рис. 1 по оси ординат отло -
жены восстановленные значения C концентрации компонентов газовой
смеси, а по оси абсцисс σξ — среднеквадратическое относительное зна-
чение шума измерения.
Расчеты на рис . 1, а проведены для спектральных каналов измере-
ния (линий генерации СО 2-лазера) 10P14, 10P22, 10P36 (на рисунке по-
казаны результаты восстановления концентрации этилена), на рис . 1, б
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана . Сер. “Приборостроение”. 2003. № 4 29