УДК 621.37
К ВОПРОСУ О ПРЕДЕЛЬНОМ ЦИКЛЕ
ГЕНЕРАТОРА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ В РЕЛАКСАЦИОННОМ РЕЖИМЕ
В.Ф. Судаков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
e-mail:
Приведено приближенное аналитическое описание предельного цикла генера-
тора Ван-дер-Поля в релаксационном режиме. Предложенный метод описания
менее точен, чем известные асимптотические приближения, но значительно
проще в реализации. Получена временная зависимость автоколебаний в форме
обратной функции.
Ключевые слова
:
генератор, предельный цикл, период автоколебаний, релакса-
ционный режим, асимптотика решения.
TO THE PROBLEM ON LIMIT CYCLE
OF THE VAN DER POL GENERATOR IN RELAXATION MODE
V.F. Sudakov
Bauman Moscow State Technical University, Moscow
e-mail:
An approximate analytical description of the limit cycle of the Van der Pol generator
in relaxation mode is given. The proposed description approach is less accurate than
the known asymptotic approximations but is substantially simpler in implementation.
The time dependence of self-oscillations is derived in the form of inverse function.
Keywords
:
generator, limit cycle, the period of self-oscillations, relaxation mode,
asymptotics of the solution.
Уравнение Ван-дер-Поля в приведенной форме
d
2
x
dt
2
−
ε
1
−
x
2
dx
dt
+
x
= 0
(1)
описывает как автоколебания, так и процесс их установления. Возмож-
ные режимы определяются параметром
ε
: автоколебания существуют
только при
ε >
0
, их форма близка к гармонической при
ε
1
и имеет
релаксационный вид при
ε >
1
. В настоящей работе остановимся на
релаксационном режиме генерации, рассматривая только предельный
цикл (автоколебания), не касаясь процесса его установления.
Уравнение (1), ввиду его типичного характера и важного приклад-
ного значения, досконально изучалось на протяжении многих лет.
При малых
ε
применялся оптимальный в этом случае метод усред-
нении [1]. При больших
ε
исчерпывающие результаты были получе-
ны графоаналитическим путем с помощью метода изоклин и метода
Льенара [1]. Чисто аналитическим путем уравнение (1) исследовал
А.А. Дородницын [2], разработавший для этого асимптотический ме-
тод. Полученная им зависимость для предельного цикла
dx
dt
=
y
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 1 51
