имела вид асимптотических рядов для различных областей измене-
ния
x
. Основная трудность, которая была преодолена Дородницыным,
сводилась к необходимости сшивать различные асимптотические раз-
ложения в окрестностях точек перехода
x
=
±
1
и точек
x
=
±
a
, где
dy
dx
(
a
) =
±∞
и нарушается однозначность зависимости
y
(
x
)
. Ма-
лые окрестности этих точек рассматривались как переходные обла-
сти между областями сравнительно простой асимптотики (основными
областями). Согласно методу Дородницына переходные области вы-
бираются таким образом, чтобы они частично перекрывались с при-
легающими к ним основными областями. Кроме того, точки
x
=
±
a
считаются неизвестными и определяются в процессе построения ре-
шения во всех основных и переходных областях. Асимптотические
ряды, представляющие предельный цикл в различных областях, раз-
личны и имеют сложный характер.
Далее будет предложен другой подход к приближенному описанию
предельного цикла для уравнения Ван-дер-Поля в релаксационном ре-
жиме (при больших
ε
). Он проще метода Дородницына, хотя и менее
точен. Критерием допустимости предлагаемого приближения являет-
ся правильная (в первом приближении совпадающая с известными
результатами) качественная зависимость от
ε
наиболее важных харак-
теристик автоколебаний.
Асимптотика предельного цикла в основных областях.
Из (1)
следует уравнение, представляющее собой зависимость
y
(
x
)
на фазо-
вой плоскости
{
x, y
}
:
y
dy
dx
−
ε
1
−
x
2
y
+
x
= 0
.
(2)
Предельный цикл — это изолированная замкнутая устойчивая тра-
ектория на фазовой плоскости. Уравнение (2) сохраняет вид при за-
мене
x
→ −
x, y
→ −
y
, т.е. его решение центрально симметрично.
Это свойство позволяет ограничиться только верхней полуплоскостью
y
≥
0
. (В этом пункте приведены известные сведения об асимптотиче-
ском приближении решения уравнения (2) в основных областях.) Если
амплитуда автоколебаний
a
, то они занимают область
|
x
| ≤
a
, огра-
ниченную точками, в которых меняет знак производная
dx
dy
, проходя
через нулевое значение. Исключим из рассмотрения точки перехода
x
=
±
1
вместе с некоторой их окрестностью (переходной областью).
К.Ф. Теодорчик [3] качественно установил, что в основной области
−
a < x <
−
1
(область III) колебания медленно нарастают по прибли-
женному закону
y
III
(
x
)
≈
ε
−
1
x
1
−
x
2
,
(3)
52 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 1
