Рис. 1. Часть предельного цикла при
больших
ε
1
(неизвестен в сред-
ней переходной области);
y
m
(
x
)
—
при малых
ε
1
. При отрицатель-
ных
y
графики центрально симме-
тричны приведенным
а в основной области
−
1
< x < a
(область I) колебания нарастают
очень быстро в силу приближенного
уравнения
y
I
dy
dx
−
ε
1
−
x
2
y
I
≈
0
.
Решение этого уравнения зави-
сит от постоянной, связанной с ам-
плитудным значением
a
:
y
I
(
x
) =
ε
(
x
−
a
)
−
1
3
x
3
−
a
3
.
(4)
Следовательно, неизвестной в методе Дородницына фактически
является амплитуда колебаний
a
, основные трудности возникают при
ее определении. В частности, необходим переход в полуплоскость
y <
0
. Амплитуду колебаний
a
удается определить только после пол-
ного обхода на фазовой плоскости всех основных и переходных обла-
стей:
−
a
→ −
1
→
0
→
1
→
a
→
1
→
0
→ −
1
→ −
a
.
При реализации этой программы необходимо решать полное урав-
нение (2) в переходных областях (решения представляются асимпто-
тическими рядами по дробным степеням
ε
). Границы основных и пе-
реходных областей определяются из условий асимптотической схо-
димости этих рядов, что также вызывает вычислительные трудности.
Явного выражения для асимптотического представления в переходной
области, содержащей точки
x
=
±
a
, не получено.
На рис. 1 приведены графики, построенные по формулам (3), (4):
первая кривая описывает график в основной области III, примыкаю-
щей к точке
x
=
−
a
, а вторая — в основной области I около точки
x
=
a
. На этом же рисунке показан предельный цикл генератора Ван-
дер-Поля при малом значении
ε
1
(численный расчет).
Зависимости, представленные в виде графиков на рис. 1, известны.
Основываясь на них, можно по-иному и значительно проще, чем в
методе Дородницына, полностью найти предельный цикл при боль-
ших
ε
.
Сращивание асимптотик
y
III
(
x
)
и
y
I
(
x
)
в переходных областях.
Предлагается следующее. Нетрудно установить (например, [3]), что
при всех малых
ε
предельный цикл есть окружность радиуса 2. Через
точку
x
=
a
проходит окружность, касательная к предельному циклу
релаксационного режима (обе кривые имеют в этой точке общую вер-
тикальную касательную). Поскольку эта окружность есть предельный
цикл при малом
ε
, то можно утверждать, что
a
= 2
. Таким образом,
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 1 53
