Рис. 3. Асимптотически малые вкла-
ды в период автоколебаний, рассчи-
танные по методу Дородницына (8) и
по формуле (11)
зависимости
T
D
(
ε
) =
T
−
2
ε
3
2
−
ln 2
2
,
где
T
— из (8), и
T
2
(
ε
)
— рассчи-
танная по формуле (11).
Форма автоколебаний.
Вре-
менн´ую зависимость автоколеба-
ний можно получить в виде обрат-
ной функции
t
=
f
(
x
)
на полупе-
риоде
0
≤
t
≤
0
,
5
T
. На полупериоде
0
,
5
T
≤
t
≤
T
имеем
t
=
τ
(
x
)
,
где функция
τ
(
x
)
— симметричное относительно точки
(0
,
0
,
5
T
)
плос-
кости
xt
отображение функции
f
(
x
)
. Последнее следует из свойства
центральной симметрии цикла на фазовой плоскости. Чтобы получить
зависимость
t
=
f
(
x
)
, воспользуемся формулами (4), (5) и (6) на соот-
ветствующих им интервалах в пределах
−
2
≤
x
≤
2
. Для
−
2
≤
x
≤
x
L
из (4) следует, что
t
=
t
III
(
x
) =
x
Z
−
2
dx
y
III
(
x
)
. После интегрирования по-
лучим
t
III
(
x
) =
ε
ln
−
x
2
−
1
2
(
−
x
)
2
+
1
2
2
2
.
(13)
На интервале
x
L
≤
x
≤
x
R
аналогичным образом, используя
y
II
(
x
)
из (5), получаем
t
=
t
II
(
x
)
, где
t
II
(
x
) =
t
III
(
x
L
) +
1
p
Ay
III
(
x
L
)
arctg
"s
A
y
III
(
x
L
)
(
x
−
x
L
)
#
.
(14)
Для интервала
x
R
≤
x
≤
2
, используя (6), получаем
t
=
t
I
(
x
)
, где
t
I
(
x
) =
1
9
ε
−
1
ln ((
−
x
+ 2) (
−
x
R
+ 2)) +
+
1
(
−
x
−
1)
2
−
4
x
−
x
2
2
+
1
(
−
x
R
−
1)
2
−
4
x
R
−
x
2
R
2
.
Очевидно,
f
(
x
) =
t
III
(
x
) [Φ (
x
+ 2)
−
Φ (
x
−
x
L
)] +
+
t
II
(
x
) [Φ (
x
−
x
L
)
−
Φ (
x
−
x
R
)] +
t
I
(
x
) [Φ (
x
−
x
R
)
−
Φ (
x
−
2)]
.
Здесь
Φ (
x
)
— единичная функция Хевисайда. Графики
t
=
f
(
x
)
и
t
=
τ
(
x
)
представлены на рис. 4
Выводы.
Предложенное упрощенное аналитическое описание
предельного цикла генератора Ван-дер-Поля позволяет качественно
56 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 1
