при любых
ε
амплитуда автоколебаний равна 2 (естественно, с неко-
торой точностью, как следует из работы [1]). В результате выражение
(4) представляет собой полином вида
y
I
(
x
) =
ε
2
3
+
x
−
1
3
x
3
.
(5)
Введем в рассмотрение точки
x
L
=
−
1
−
ε
−
1
3
и
x
R
=
−
1+
ε
−
1
3
. Мож-
но считать асимптотику (3) пригодной в основной области
[
−
2
, x
L
]
, а
асимптотику (5) — пригодной в основной области
[
x
R
,
2]
. Сопряжем
эти асимптотики в переходной области
[
x
L
, x
R
]
простейшим полино-
мом
y
II
(
x
)
, исходя из условий
y
II
(
x
L
) =
y
III
(
x
L
)
,
dy
II
dx
(
x
L
) = 0
.
Такой полином должен иметь следующий вид (с точностью до
постоянной
A
):
y
II
(
x
) =
A
(
x
−
x
L
)
2
+
y
III
(
x
L
)
.
(6)
Сращивание асимптотик на границах переходной области можно
обеспечить выбором постоянной
A
из условия
y
II
(
x
R
) =
y
I
(
x
R
)
. Это
условие дает
A
= [
y
I
(
x
R
)
−
y
III
(
x
L
)] 2
ε
−
1
3
−
2
.
(7)
Таким образом, предельный цикл в переходной области описывает-
ся асимптотикой (6) с постоянной (7). При этом обеспечено сращива-
ние по непрерывности выражений (3), (5), (6) на границах переходной
области. Производные различных асимптотик в граничных точках ис-
пытывают разрыв, но нетрудно показать, что значения этих разрывов
находятся в другом порядке малости, а не в том, где сами производные
в этих же точках.
Рис. 2. Предельный цикл релаксацион-
ных автоколебаний при
ε
= 10
, прибли-
женно (с достаточной точностью) совпа-
дающий с построенным по методу Дород-
ницына [2] и с точным решением
y
(
x
)
,
полученным на ЭВМ [4]
На рис. 2 показан график
предельного цикла в верх-
ней полуплоскости, построен-
ный с использованием выраже-
ний (3), (5), (6).
Период автоколебаний.
Важной характеристикой авто-
колебаний является их период.
В режиме почти гармониче-
ских автоколебаний (
ε <
1
)
период равен
1+
O
(
ε
)
. Извест-
но, что период релаксационных
54 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 1
