Полное факториальное моделирование равномерных последовательностей целых случайных величин

4 / 18

Полное факториальное моделирование равномерных последовательностей…
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 5 135
Цель настоящей работы — моделирование полного множества абсолютно
всех равномерных случайных последовательностей без повторений и пропусков
исходных элементов наблюдений.
Теория. Компьютерные случайные величины характеризуются конечным
числом w информативных битов, в которых можно наблюдать не более чем
2w N  случайных величин. Все они образуют множество с полным набором
случайных величин  
1 2 2 , , , .
w
N B b b b    Множество B позволяет индуциро-
вать множество конечных последовательностей D, составленных из случайных
величин . b B Ограничим множество D только такими последовательностями,
в которых находятся ровно 2w N  случайных величин. Если в некоторых по-
следовательностях будут наблюдаться повторения случайных величин, то в та-
ких последовательностях в то же время будут отсутствовать некоторые элемен-
ты , b B поскольку введенное условие ограничивает в ней число случайных
величин как 2w N  элементов. Введем второе ограничение множества D, кото-
рое предполагает, что рассматриваются только такие последовательности
, d D в которых отсутствуют пропуски или повторения случайных величин
. b B Эти два ограничения позволяют утверждать, что такое множество D с
указанными свойствами будет минимальным по числу различимых случайных
последовательностей, т. е. D — множество всех последовательностей с неповто-
ряющимися случайными величинами. Тогда каждая последовательность d D
содержит все элементы . b B Математически D — это множество всех переста-
новок объектов из B . Оно является минимальным над полем B.
Итак, каждый элемент d D содержит ровно 2w N  неповторяющихся
элементов . b B В этих обозначениях имеем полное множество всех последова-
тельностей длиною 2 ,w N  но при условии, что в каждой последовательности
все случайные величины указаны по одному разу, т. е. простейшая полнота по
объектам наблюдений b B и простейшая полнота по последовательностям
. d D
Здесь вопрос неопределенности выборки в наблюдениях можно рассматри-
вать в двух аспектах:
1) неопределенность наблюдения объекта b B в определенном месте по-
следовательности, но объект обязательно проявляет себя явно;
2) неопределенность наблюдения последовательности, хотя каждая после-
довательность d D обязательно проявляет себя, поскольку других последова-
тельностей с неповторяющимися элементами b B не может быть.
Мощность функционала F наблюдений связана с количеством выборок по-
следовательностей d D следующим образом:
    2 !.w card F card D 
Это непосредственно следует из комбинаторного математического анализа [21],
если рассматривать оценку количества перестановок индексов для N элементов.
В теории вероятностей [22] такой же результат получается для выборок без
повторений: на первом месте в последовательности может находиться любой из