5 / 9
Метод синтеза динамической модели информационного упра-
вления социальной сетью с заданным спектром.
Введем следую-
щую
многоуровневую декомпозицию
[10–12] динамической модели ин-
формационного управления социальной сетью, заданной парами ма-
триц
(
A, A
b)
или
(
A, AB
)
, где
A
∈
R
n
×
n
,
A
b
∈
R
n
×
1
,
B
∈
R
n
×
r
.
Нулевой (исходный) уровень
A
0
=
A
;
˜
B
0
=
AB
, первый уровень
A
1
= (
AB
)
⊥
A
(
AB
)
⊥
T
= ˜
B
⊥
0
A
˜
B
⊥
T
0
;
˜
B
1
= (
AB
)
⊥
A
2
B
= ˜
B
⊥
0
A
2
B
,
k
-й (промежуточный) уровень
A
k
= ˜
B
⊥
k
−
1
A
k
−
1
˜
B
⊥
T
k
−
1
;
B
k
=
= ˜
B
⊥
k
−
1
A
k
−
1
˜
B
k
−
1
,
L
-й (конечный) уровень (
L
= ceil (
n/r
)
−
1
)
A
L
= ˜
B
⊥
L
−
1
A
L
−
1
˜
B
⊥
T
L
−
1
;
˜
B
L
= ˜
B
⊥
L
−
1
A
L
−
1
˜
B
L
−
1
. Здесь
ceil (
∗
)
— опе-
рация округления числа в сторону большего значения, например,
ceil (0
,
1) = 1
,
ceil (1
,
6) = 2
,
ceil (2
,
01) = 3
и т.д.
Теорема 1.
Если динамическая модель информационного управле-
ния социальной сети с парой матриц
(
A, AB
)
полностью управляе-
мая, то полностью управляемы все пары матриц
(
A
i
,
˜
B
i
)
.
Примем, что все матрицы
˜
B
i
— матрицы полного ранга по столб-
цам. Тогда справедливо утверждение.
Теорема 2.
Пусть динамическая модель информационного упра-
вления социальной сети с парой матриц
(
A, AB
)
полностью упра-
вляемая и матрица
F
∈
R
r
×
m
удовлетворяет формулам
F
=
F
0
= Φ
0
˜
B
−
0
−
˜
B
−
0
A
0
,
˜
B
−
0
= ˜
B
+
0
−
F
1
˜
B
⊥
0
;
(6)
F
1
= Φ
1
˜
B
−
1
−
˜
B
−
1
A
1
,
˜
B
−
1
= ˜
B
+
1
−
F
2
˜
B
⊥
1
;
(7)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F
k
= Φ
k
˜
B
−
k
−
˜
B
−
k
A
k
,
˜
B
−
k
= ˜
B
+
k
−
F
k
+1
˜
B
⊥
k
;
(8)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F
L
= Φ
L
˜
B
−
L
−
˜
B
−
L
A
L
,
(9)
тогда
eig (
A
+
ABF
) =
L
+1
[
i
=1
eig(Φ
i
−
1
)
.
(10)
Другими словами, при выполнении условий (6)–(9) динамической мо-
дели информационного управления социальной сетью обеспечивается
заданный спектр (заданные собственные значения) внутри единичного
круга на комплексной плоскости
C
.
Доказательство теорем 1 и 2 строится по аналогии с тем, как это
сделано в работах [11, 12].
Из теоремы 2 вытекает следующий
алгоритм синтеза
регулятора
динамической модели информационного управления социальной сети,
обеспечивающего заданный спектр матрицы
A
+
ABF
:
62 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 1