СЛАУ, которые при этом решаются, является то, что в строке и столб-
це матрицы
А
в 99% случаев стоит, как правило, меньше пяти-семи
ненулевых элементов.
Теорема 1.
[9] (без доказательства).
Не может существовать точ-
ного метода нахождения всех собственных значений произвольной ма-
трицы
А
порядка
n >
5
.
Другими словами, за конечное число ариф-
метических операций нельзя найти абсолютно точно все собственные
значения произвольной матрицы
А
порядка
n >
5
. Учитывая теоре-
му 1, порядок тестовых задач был выбран равным 5, чтобы можно
было абсолютно точно оценивать число обусловленности тестовых
задач.
Задавая разные значения параметра
por
с помощью датчика случай-
ных чисел, формируем полностью заполненную матрицу
А
; суммируя
строки матрицы, будем получать вектор правых частей
b
. Абсолютно
точным решением таких тестовых задач без учета ошибок округлений
будет единичный вектор. Ошибки округлений в процессе исключения
элементов вектора решения СЛАУ в точных, прямых методах решения
СЛАУ почти всегда приводят к тому, что вычисленное решение будет
отличаться от абсолютно точного, эталонного. Имеются две общепри-
нятые меры оценки точности для вычисленного решения:
— ошибка
e
=
х
−
х
,
где
x
— абсолютно точное, эталонное решение;
x
— полученное ре-
шение для вектора неизвестных;
— невязка
r
=
b
−
Ax.
Теория матриц говорит, что если норма одной из этих величин
равна нулю, то и норма другой также должна быть равна нулю. Но
они не обязаны одновременно быть малыми.
Функция, генерирующая описанные тестовые нормализованные
СЛАУ, использует генератор случайных чисел. Основная тестирую-
щая процедура состоит в том, что для заданного
por
(
A
)
— разброса
порядков коэффициентов исходной матрицы
А
— решается
N
тестов.
Для каждого теста определяется относительная погрешность решения
Δ = max
1
6
i
6
n
|
x
i
−
x
i
|
|
x
i
|
.
Было выбрано значение
N
= 1000
для каждого набора тестовых
задач и фиксировались тестовые задачи, для которых относительная
погрешность решения была больше 10
−
15
.
Рассмотрим решение тестовой задачи 2, т.е. тестовой задачи Вох-
минцева, полученной по указанной методике в стиле Уилкинсона (аб-
солютно точное решение этой задачи — это единичный вектор решения
СЛАУ). Описание тестовой задачи Вохминцева в пакете MATLAB:
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 4 31
