i= 1 xi= 0.999999999999999999999999999952405553
i= 2 xi= – 0.999999999999999999999999999934060974
Выбор тестовых задач.
Указанные AL-устойчивые неявные мето-
ды интегрирования сводятся в общем случае к многократному реше-
нию соответствующих СЛАУ вида
Ax
=
b,
(1)
где
A
= (
a
ij
)
— матрица коэффициентов размера
n
×
n
, а
det(
A
)
6
= 0
;
b
= (
b
1
, . . . , bn
)
т
— вектор-столбец правых частей;
x
— вектор решения;
n
2
N
,
A
2
R
n
×
n
и
b
2
R
n
×
1
, задан rank
A
=
n
и нужно вычислить
значения всех элементов вектора
х
2
R
n
×
1
с точностью в 15 верных
значащих цифр.
На практике при математическом моделировании сложных техни-
ческих систем и объектов во временн´oй области разброс порядков ко-
эффициентов матрицы
А
(
por
(
A
))
и векторов
b
и
х
может быть очень
большим (задачи химической кинетики, ядерной и лазерной физики,
наноэлектроники и т.п.).
В вычислительной практике часто встречается такой прием, как
нормализация вектора
х
, т.е. если величина
х
i
имеет, например, поря-
док
10
−
20
, то нормализовав
x
i
по формуле
x
0
i
=
x
i
/x
ном
i
,
где
x
ном
i
= 10
−
20
, перейдем к системе линейных уравнений
A
0
x
0
=
b.
(2)
Получаем, что новые элементы вектора решения
x
0
i
, которые необ-
ходимо будет найти, близки к единице. Таким образом, переходим к
новой нормализованной СЛАУ (2), где
x
0
i
= 1
,
a
0
ij
=
a
ij
x
ном
j
.
Поскольку мы от (1) к (2) перешли линейным преобразованием,
то все вычислительные процессы решения системы (1) будут эквива-
лентны процессам решения системы (2), и наоборот. Таким образом,
исследовав процесс численного решения системы (2), можно судить
о процессе численного решения системы (1). Исходя из приведенных
рассуждений, сформулируем класс тестовых задач:
10
−
por/
2
<
|
a
ij
|
<
10
por/
2
,
b
i
=
n
X
j
=1
a
ij
(
i, j
= 1
, n
)
,
где
por
– разброс порядков коэффициентов матрицы
А
.
Размерности СЛАУ, решаемых при математическом моделирова-
нии сложных технических систем и объектов во временн´ой области,
могут быть весьма большими, например в задачах математическо-
го моделирования микропроцессоров, но особенностью разреженных
30 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 4
