Научно-исследовательские работы по второму направлению вы-
полняются преподавателями, аспирантами, сотрудниками и студента-
ми кафедры РК-6 (САПР) МГТУ им. Н.Э. Баумана с 1974 г. При про-
граммной реализации численных методов решения систем ОДУ сле-
дует выделять два основных типа погрешностей численного решения
— глобальнуюя погрешность (или качественную ошибку) и локальную
погрешность (или количественную ошибку). Программисты основное
внимание уделяют получению математической локальной точности,
хотя главное, конечно, это получение качественно корректного чи-
сленного решения систем ОДУ. В работах [1, 2] показано, что для га-
рантии получения качественно корректного решения разнообразных
систем ОДУ численный метод решения должен быть AL-устойчивым,
т.е. абсолютно устойчивым строго в левой полуплоскости комплексной
плоскости устойчивости методов численного решения систем ОДУ. В
работе [3] на основе аппроксимации Паде экспоненты в конечную
дробь и использования многочленов Якоби [4] были получены коэф-
фициенты AL-устойчивых неявных методов интегрирования систем
ОДУ 2, 4 и 6-го порядков точности. Программная реализация этих
методов сводится к многократному решению соответствующих си-
стем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) на каждом шаге
интегрирования, что, как правило, приводит к нескольким тысячам
и более обращений к программе-решателю СЛАУ на всем заданном
отрезке интегрирования систем ОДУ. AL-устойчивые неявные методы
интегрирования систем ОДУ 2-го и 4-го порядков точности были реа-
лизованы в программе DMAN на языках ФОРТРАН и Си при исполь-
зовании удвоенной точности вычислений [5]. Решение большого числа
тестовых и практических задач моделирования технических систем и
объектов во временн´ой области с помощью этой программы показало,
что для получения качественно корректного решения разнообразных
систем ОДУ необходимо на всех шагах интегрирования обеспечивать
численное решение соответствующих СЛАУ с точностью в 15 верных
значащих цифр для всех значений элементов вектора решения СЛАУ.
В работах [6–8] показано, что для решения этой проблемы возмож-
ны два подхода: итерационное уточнение решения, полученного точ-
ными, прямыми методами решения СЛАУ; применение в точных, пря-
мых численных методах решения СЛАУ сверхточных (extra precision)
вычислений с увеличенным числом разрядов мантиссы веществен-
ных чисел, реализованных, например, в математических пакетах про-
грамм Maple (метод Software Floating Point (SFP метод), MATLAB
(метод Variable Precision Arithmetic (VPA метод)), Mathematica (метод
Arbitrary Precision Arithmetic (APA метод)) и др.
Цель настоящей статьи — исследование применения первого под-
хода для численного решения СЛАУ на языке Си с точностью в 15
26 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 4
