solve by magma_dgetrs_gpu X:
0.99999999991008559
– 0.99999999987542965
solve by magma_dgeqrs_gpu X:
0.99999999976779308
– 0.99999999967829267
Следует отметить, что использование параметра задаваемого числа
верных значащих цифр — 15 при вычислениях в пакете Mathematica
(APA метод) дает решение тестовой задачи Уилкинсона с требуемой
точностью:
N
[LinearSolve[{{78/100,563/1000}, {913/1000,659/1000}},
{217/1000,254/1000}],15] {1.0000000000000,-1.0000000000000}
Аналогичные результаты были получены и в других пакетах при
использовании упомянутых методов сверхточных вычислений.
Стандартный тип double (или long double) для представления веще-
ственных чисел в компиляторах языка Си на обычных ПК позволяет
работать с числами, мантисса которых не превосходит 16-17 деся-
тичных разрядов. В подавляющем большинстве случаев при решении
СЛАУ этой длины мантиссы вещественных чисел хватает для получе-
ния решений с инженерной точностью. Но при решении разнообраз-
ных систем ОДУ (особенно жестких и сверхжестких) иногда необ-
ходимо решать СЛАУ, для получения сверхточного решения которых
такого числа десятичных разрядов мантиссы вещественных чисел ма-
ло. В этом случае ошибки при выполнении арифметических операций
в процессе численного решения СЛАУ становятся большими и силь-
но сказываются на точности конечного результата. Следовательно, для
уменьшения влияния ошибок при выполнении арифметических опе-
раций надо повысить точность их выполнения. Эксперименты пока-
зали, что для получения решений СЛАУ с требуемой точностью надо
выполнять вычисления с вещественными числами, у которых ман-
тисса имеет более
2
m
десятичных разрядов (в зависимости от числа
обусловленности cond(
A
) матрицы коэффициентов СЛАУ), где
m
—
требуемое число верных значащих цифр для всех значений элементов
вектора решения СЛАУ. Однако оценка затрат машинного времени на
обычных ПК показала, что при математическом моделировании реаль-
ных сложных технических систем и объектов эти затраты могут стать
недопустимо большими, поэтому сейчас все вычислительные экспе-
рименты по решению СЛАУ с указанной точностью выполняются на
суперкомпьютерах. Так, для тестовой задачи Уилкинсона было полу-
чено следующее сверхточное решение при использовании вычисле-
ний с увеличенным числом разрядов мантиссы вещественных чисел
на суперкомпьютере СКИФ МГУ им. М.В. Ломоносова (“Чебышев”)
методом Гаусса:
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 4 29
