описываемую функцией Гаусса соответственно с математическими
ожиданиями
ξ
i
и
η
i
, дисперсиями
σ
2
(
x
i
)
и
σ
2
(
y
i
)
и коэффициентом
корреляции
ρ
(
x
i
, y
i
) =
ρ
i
. Тогда плотность вероятности получить точ-
ку с координатами
(
x
i
, y
i
)
равна
P
i
=
1
2
πσ
(
x
i
)
σ
(
y
i
)
p
1
−
ρ
2
i
exp
−
u
2
1
i
−
2
ρ
i
u
1
i
u
2
i
+
u
2
2
i
2 (1
−
ρ
2
i
)
,
где
u
1
i
=
x
i
−
ξ
i
σ
(
x
i
)
;
u
2
i
=
y
i
−
η
i
σ
(
y
i
)
.
Совместная плотность вероятности получить
n
независимых таких
точек
L
=
n
Q
i
=1
P
i
и
ln
L
=
=
−
1
2
n
X
i
=1
"
(
x
i
−
ξ
i
)
2
σ
2
(
x
i
)
−
2
ρ
i
(
x
i
−
ξ
i
) (
y
i
−
η
i
)
σ
(
x
i
)
σ
(
y
i
)
+
(
y
i
−
η
i
)
2
σ
2
(
y
i
)
#
1
1
−
ρ
2
i
+
const
.
Оценки искомых параметров
θ
находятся из условия минимума
функционала
F
=
1
2
n
X
i
=1
1
1
−
ρ
2
i
"
(
x
i
−
ξ
i
)
2
σ
2
(
x
i
)
−
2
ρ
i
(
x
i
−
ξ
i
) (
y
i
−
η
i
)
σ
(
x
i
)
σ
(
y
i
)
+
(
y
i
−
η
i
)
2
σ
2
(
y
i
)
#
.
(5)
Для важного в практике частного случая, когда погрешности
δ
i
и
ε
i
некоррелированны, выражение (5) примет вид
F
1
=
1
2
n
X
i
=1
"
(
x
i
−
ξ
i
)
2
σ
2
(
x
i
)
+
(
y
i
−
η
i
)
2
σ
2
(
y
i
)
#
.
(6)
Теперь рассмотрим задачу отыскания минимума функционалов ти-
па (5)–(6) по параметрам
θ
.
Нам не известны истинные значения абсцисс экспериментальных
точек, а известны только их доверительные области. Перед тем как
приступить к определению точки минимума функционалов (5), (6) по
θ
, требуется каким-то образом определить
ξ
i
и только затем, подста-
вив выражения для
ξ
i
и
η
i
в функционал, приступать к отысканию
минимума получившейся функции нескольких переменных.
Искомые значения
ξ
i
определяются из условий
∂F
∂ξ
i
= 0
, i
= 1
, n,
(7)
а оценки параметров
Θ
—
∂F
∂η
∂η
∂
Θ
j
= 0
, j
= 1
, m.
(8)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 2 9
