На рис. 2 представлены результаты расчета среднеквадратического
отклонения времени возвратов Пуанкаре в окрестность точки пересе-
чения фазовой траекторией оси
x
. Верхний график дает представление
об указанном параметре для всего семейства орбит, нижний — для от-
резка [0,4; 0,999] оси
x
. Период орбит, пересекающих отрезок [0,4;
0,96] близок к
2
π
модельных лет. Орбиты, лежащие ближе к меньше-
му притягивающему телу, имеют меньший период обращения. Таким
образом, в достаточно широкой области рассматриваемого фазового
пространства существуют устойчивые по Пуассону орбиты.
Результаты численного определения спектра ляпуновских показа-
телей для исследуемого класса орбит приведены на рис. 3 в виде гра-
фика изменения спектра для орбит, пересекающих отрезок оси
x
[0,4;
0,999] (рис. 3,
а
). На рис. 3,
б
тот жеграфик показан для орбит из от-
резка [0,82; 0,831], на рис. 3,
в
— для орбит, лежащих внутри колли-
неарных точек либрации. В последнем случае расчет проводился как
интегрированием уравнений движения задачи трех тел (1), так и инте-
грированием уравнений движения бикруговой задачи четырех тел (2).
Определение спектра ляпуновских показателей проводилось на основе
выражения (3) для орбит, лежащих за коллинеарными точками либра-
ции, через 0,0005 а.е., а для орбит, лежащих внутри коллинеарных
точек либрации, шаг был уменьшен до 0,0001 а.е. Расчет показателей
проводился с использованием 75 случайных возмущений номиналь-
ной траектории для орбит, лежащих за коллинеарными точками, и с
использованием 175 — для орбит, лежащих во внутренней области.
Из графика изменения спектра ляпуновских показателей следует,
что:
— для орбит, лежащих за коллинеарными точками либрации,
Λ
z
<
0
, т.е. указанные орбиты асимптотически устойчивы вдоль
оси
z
. Во внутренней области это соотношение не выполняется и
орбиты неявляются устойчивыми вдоль указанной оси;
— cуществует область фазового пространства, границей которой
можно условно считать отрезок [0,8215; 0,8305]. Для орбит из этой
области ляпуновские показатели имеют глобальные минимумы. Гра-
фик суммы спектра ляпуновских показателей приведен на рис. 4. По-
грешность вычислений ляпуновских показателей приводит к тому, что
в нескольких точках этот график имеет отрицательные значения, что не
свойственно консервативным системам, а в диссипативных системах
указывает на присутствие аттрактора — области притяжения фазовых
траекторий. В описываемой области фазового пространства старшим
показателем является
Λ
x
, что не характерно для других областей. Ля-
пуновские показатели, с точностью до ошибок их численного опре-
деления, можно считать нулевыми, однако расчет возвратов Пуанкаре
показывает, что они все же положительны. Пример для орбиты, ле-
жащей в данной области, приведен на рис. 5; графики возмущений
вдоль всех осей имеют ярко выраженный периодический характер;
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 2 109
