отдельно взятой фазовой траектории и может быть сформулировано
следующим образом: фазовая траектория
x
(
t
)
устойчива по Лагранжу,
если состояние
x
(
t
)
при всех
t >
0
остается в некоторой ограниченной
области фазового пространства. Другим определением устойчивости
отдельно взятой фазовой траектории, не являющейся неподвижной
точкой, является определение устойчивости по Пуассону. Устойчивой
по Пуассону будет траектория, которая возвращается в сколь угод-
но малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз.
Возвраты траектории в
ε
-окрестность произвольно выбранной точ-
ки называют возвратами Пуанкаре. Для периодических траекторий
возвраты Пуанкаре происходят через промежуток времени, равный
периоду этих траекторий. В случае квазипериодических траекторий
время между возвратами зависит от
ε
. Для траекторий, проявляющих
признаки хаотического движения, возвраты Пуанкаре носят нерегу-
лярный характер.
В случае, когда необходимо исследовать устойчивость фазовых
траекторий, изначально близко расположенных, используется опреде-
ление устойчивости по Ляпунову. Траектории
x
(
t
)
и
y
(
t
)
устойчивы,
когда для любого сколь угодно малого положительного числа
ε
суще-
ствует такое
δ >
0
, что для любой точки старта
y
0
из
δ
-окрестности
точки
x
0
, т.е. при
||
x
0
−
y
0
||
< δ
, для всех
t >
0
||
x
(
t
)
−
y
(
t
)
||
< ε
.
Определение устойчивости по Ляпунову приводит к методу коли-
чественной оценки устойчивости по линейному приближению, осно-
ванному на теореме Ляпунова. Теорема утверждает, что для любого
решения уравнения
d
˜
x
dt
=
A
˜
x
(где
˜
x
(
t
)
задает возмущение исходной
траектории
x
(
t
)
,
A
— матрица, составленная из частных производных
от компонент невозмущенного решения по компонентам вектора
x
)
можно определить ляпуновский характеристический показатель, да-
ющий численную оценку изменения во времени возмущения
˜
x
(
t
)
[4,
с. 140]:
Λ
˜
x
(
t
)
= lim
T
→∞
1
T
ln ˜
x
(
T
)
.
(3)
При размерности фазового пространства
N
(размерность функции
возмущения равна
N
) существует
N
ляпуновских показателей, на-
зываемых спектром. Наибольший показатель из спектра называется
старшим.
В линейном приближении возмущение исходной траектории эво-
люционирует во времени как
e
Λ
t
, т.е. при положительности ляпунов-
ского показателя фазовая траектория является неустойчивой. Равен-
ство нулю ляпуновского показателя говорит о периодическом харак-
тере фазовой траектории, отрицательность — о ее асимптотической
устойчивости.
Численное определение спектра ляпуновских показателей стро-
ится на применении процедуры ортогонализации Грама–Шмидта
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 2 107
