13 / 18
В.И. Аникин, О.В. Аникина, О.М. Гущина
126
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 5
же ассоциированный с внедренной кнопкой «Подгонка» макрос
Solve
(), кото-
рый выполняет действие 5, затем копирует в вектор-строку
начальные значе-
ния
нач
и запускает поиск оптимального решения.
Используя специально созданную табличную модель парной параметриче-
ской регрессии для выборки данных
3
y
0,1 ,
i
i
i
x N
уточняем коэффициен-
ты полинома пятой степени (см. ниже), определяющего стандартную линию
тренда
Microsoft Excel
, и построим график линии регрессии (рис. 1,
б
) по этим
коэффициентам. Полное совпадение кривых, приведенных на рис. 1,
б
, свиде-
тельствует о том, что для нахождения стандарных линий тренда
Microsoft Excel
применяет МНК.
Корректировка параметров уравнения линии тренда в
Microsoft Excel
θ
5
θ
4
θ
3
θ
2
θ
1
θ
0
Параметры
Microsoft Excel
.......................0,0002
−0,0063
0,0638
−0,3134
0,8914
0,3102
Оптимальные
параметры...............................0,0002330 −0,006230 0,06307 −0,30971 0,88398 0,3137
Результаты P-сплайновой регрессии первого порядка для случайной вы-
борки данных
y
i
=
a
0
+ a
1
x
i
+
a
2
sin(
x
i
) +
N
i
(0, 1), где
a
= [5, 3, 6];
= 1,5;
x
= [0, 10];
h
= 0,1, и трех значений параметра сглаживания
(штриховой линией показана
функция M(
x
)) приведены на рис. 3.
Для наилучшего значения параметра
= 0,9 (рис. 3,
в−д
) коэффициент де-
терминации равен
R
2
= 0,970, т. е. кривая регрессии объясняет 97 % вариаций
входных случайных данных. Вид функции остатков показывает, что их диспер-
сия постоянна, а автокорреляция между соседними значениями
y
i
отсутствует,
что подтверждается тестом Дарбина — Уотсона:
DW
= 2,17.
Эксперименты по нахождению оптимального значения параметра
при
изменении случайной добавки
показали, что оценка
best
s
/
s
является хо-
рошим приближением и может использоваться вместо сложного алгоритма по-
иска наилучшего значения
best
, реализованного в программе
R
[7].
Стандартные отклонения остатков и коэффициентов β
p
(
n
=100)
........................ 0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
4,0
s ........................
0,439 0,945
1,481
1,805
2,802
2,855
3,829
s
....................... 1,642 1,517
1,615
1,755
1,600
1,564
1,464
С увеличением добавки
стандартные отклонения остатков, как и следует
ожидать, линейно возрастают, а значения
s
остаются постоянными. Последнее
объясняется тем, что физически параметр
s
представляет собой оценку средне-
го значения приращений
k
тек
тангенсов углов наклона функции M(
x
) к оси
x
,
которая для фиксированной выборки данных (
x
i
, y
i
) должна оставаться прибли-
зительно постоянной. С увеличением амплитуды случайных добавок
наилуч-
шее значение
также возрастает почти линейно.