3 / 14
Особенности конечно-элементного решения задачи определения площади контакта шероховатых тел
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2016. № 4
21
деформаций. Математическая модель представляет собой уравнения равнове-
сия, обобщенный закон Гука, закон течения, соотношения Коши, критерий те-
кучести Мизеса, соотношение для расчета контактных давлений расширенного
метода Лагранжа и граничные условия:
,
0;
ij j
(1)
1
;
ij
ij
ij kk
E
E
(2)
;
P
ij
ij
d s d
(3)
,
,
1
;
2
ij
i j
j i
u u
(4)
2
2
2
2
1 2
2 3
3 1
2
;
Ф
P
(5)
4
,
;
O
i
i
p x K x S
(6)
33
3 1
;
,
N
P x S
1 2
2 1
1 2 2
0,
0,
,
N
u x
u x
x x S
+
2
;
O
S
(7)
3
3 1
0,
,
O
i
u x
x S
где
ij
и
ij
— декартовы компоненты тензоров напряжений и деформаций;
E
— модуль Юнга;
— коэффициент Пуассона;
ij
— символ Кронекера;
ij
s
—
девиатор текущих напряжений;
,
d
— множители Лагранжа;
—
i
u
компонен-
ты вектора перемещений;
1 2 3
σ , σ , σ
— главные напряжения;
Ф( )
P
—
задавае-
мая функция кривой упрочнения материала;
p
— контактное давление;
K
—
контактная жесткость;
— зазор между контактирующими поверхностями;
33
— компонент тензора напряжений.
Контактирующие поверхности сформированы следующим образом. На
ровные поверхности тел, параллельные плоскости
X0Y
, наносится сетка узлов,
которые затем сдвигаются по нормали к поверхности на 0…5 мкм в соответ-
ствии с масштабированной фрактальной функцией Веерштрасса — Мандель-
брота [1, 2]. Для модели с шероховатостью первого уровня сетка имеет размер
4 × 4 узла, а для шероховатости второго уровня — 22 × 22 узла. Принятые пара-
метры функции: размер поверхности
L
= 0,0225 мм, фрактальная шероховатость
G
= 1∙10
–6
мм, фрактальная размерность
D
= 2,3, масштабный параметр γ = 1,5,
число волн
M
= 10, максимальный номер частоты
n
max
= 17, длина отсечки
L
s
= 1∙10
–2
мм. Полученные негладкие поверхности, использованные в расчетах,
показаны на рис. 2.