5 / 9
первая строка таблицы кольцевой факторизации третьего порядка —
(2
−
1)
×
(3
−
1)
×
(5
−
1) = 8
чисел и т.д. Определим функцию
запаздывающего примориала (retarded primorial).
Определение 2.
Функция запаздывающего примориала аргумента
n
∈
N
:
n
p
#
−
1
=
n
Y
i
=1
i
p
−
1
.
(7)
Отметим, что исследование асимптотики функции запаздывающе-
го примориала представляет собой отдельную задачу.
При исключении из отрезка натурального ряда
[1;
n
p
#]
чисел, рав-
ных и кратных
1
p,
2
p, . . . ,
n
p,
в нем, согласно (7) останется
n
p
#
−
1
чисел
из первой строки таблицы кольцевой факторизации
n
-го порядка.
Определим параметр
s
как следующую функцию от аргумента
n
∈
N
:
n
= 1 :
s
= 0;
n
≥
2 :
s
=
n
p
#
−
1
/
2
−
1
.
(8)
Сформулируем и докажем теорему о симметричном представлении
кольцевой факторизации второго и более старших порядков.
Теорема 2.
Таблица кольцевой факторизации
n
-го порядка
(
n
≥
2)
имеет
n
p
#
−
1
столбцов
,
числа в которых представимы в виде
{
n
p
#
k
±
n
0
q
}
,
{
n
p
#
k
±
n
1
q
}
, . . . ,
{
n
p
#
k
±
n
r
q
}
, . . . ,
{
n
p
#
k
±
n
s
q
}
,
где
k
—
номер строки таблицы кольцевой факторизации
, k
∈
N
;
n
0
q
= 1;
n
1
q, . . . ,
n
r
q, . . . ,
n
s
q
— не участвовавшие в получении
n
p
#
простые числа и их произведения
,
меньшие
n
p
#
/
2
и записанные по
возрастанию
;
s
(8)
—
количество простых чисел и их произведений на
интервале
(
n
p
;
n
p
#
/
2);
r
∈ {
0; 1;
. . .
;
s
}
.
J
Таблица кольцевой факторизации
n
-го порядка имеет
n
p
#
−
1
(7)
столбцов, так как первая строка этой таблицы имеет столько же чисел.
Число
n
p
#
по определению кратно числам
1
p,
2
p, . . . ,
n
p,
отсюда на
отрезке натурального ряда
[1;
n
p
#]
следует симметричность располо-
жения чисел, равных и кратных числам
1
p,
2
p, . . . ,
n
p,
относительно
n
p
#
/
2 (
∀
n
∈
N
n
p
#
...
2)
.
Таким образом, числа первой строки табли-
цы кольцевой факторизации
n
-го порядка также имеют симметричное
расположение относительно
n
p
#
/
2
.
Поскольку при
n
≥
2
количество чисел первой строки таблицы
кольцевой факторизации
n
-го порядка будет четным, эти числа пред-
ставимы в виде
{
n
p
#
±
n
0
q
}
,
{
n
p
#
±
n
1
q
}
, . . . ,
{
n
p
#
±
n
r
q
}
, . . . ,
{
n
p
#
±
n
s
q
}
,
где
n
0
q
= 1;
n
1
q, . . . ,
n
r
q, . . . ,
n
s
q
— не участвовавшие в получении
n
p
#
простые числа и их произведения, меньшие
n
p
#
/
2
и записанные по
возрастанию;
s
(8)
— количество простых чисел и их произведений на
интервале
(
n
p
;
n
p
#
/
2);
r
∈ {
0; 1;
. . .
;
s
}
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1 93