4 / 9
{
p
+1
2
i
}
=
{
2
i
+1
}
— множество всех простых чисел (за исключением 2).
При этом
k
принимает все значения натурального ряда, а индексы
i
и
j
принимают все значения натурального ряда таким образом, что
индекс
i
принимает те значения, которые не принимает индекс
j
, а
индекс
j
принимает те значения, которые не принимает индекс
i
.
Теорема о полном множестве простых чисел вида
{
6
i
±
1
}
, осно-
ванная на кольцевой факторизации второго порядка для предваритель-
ного отбора составных чисел, сформулирована и доказана в работе [1].
Сформулируем и докажем обобщенную теорему о полном множестве
простых чисел, основанную на кольцевой факторизации первого по-
рядка.
Теорема 1.
Полное множество простых чисел является объеди-
нением
{
2
}
и множества
{
p
+1
2
i
}
,
которое формируется путем вычи-
тания из множества
{
q
+1
2
k
}
подмножества
{
c
+1
2
j
}
чисел, определяемых
по уравнению
c
+1
p
+1
2
i
=
p
+1
2
i
p
+1
2
i
+
p
+1
2
i
2
m,
(4)
где
m
∈
N
0
;
i
∈
N
.
J
Поскольку нечетные составные числа не делятся на 2, в соответ-
ствии с соотношением (3), представляющем составные числа через их
простые делители, каждое нечетное составное число
c
+1
2
j
может быть
представлено в виде
c
+1
p
+1
2
i
=
p
+1
2
i
q
+1
2
k
= (2
i
+ 1)(2
k
+ 1)
,
(5)
где
p
+1
2
i
— простой делитель
c
+1
p
+1
2
i
;
p
+1
2
i
≤
q
+1
2
k
.
Следовательно,
i
≤
k
. Введем индекс
m
∈
N
0
:
m
=
k
−
i
. Тогда
соотношение (5) может иметь вид
c
+1
p
+1
2
i
= (2
i
+ 1)(2(
i
+
m
) + 1) = (2
i
+ 1)
2
+ (2
i
+ 1)2
m.
(6)
Соотношение (6) идентично соотношению (4). Таким образом, ка-
ждое нечетное составное число
c
+1
2
j
может быть представлено в ви-
де соответствующего члена как минимум одной аддитивной после-
довательности (4). Следовательно, полное множество простых чисел
является объединением
{
2
}
и множества
{
p
+1
2
i
}
, которое формирует-
ся путем вычитания из множества
{
q
+1
2
k
}
подмножества
{
c
+1
2
j
}
чисел,
определяемых по уравнению (4).
I
Переход к симметричному виду кольцевой факторизации.
Пусть
n
p
—
n
-е простое число. При исключении из отрезка натурально-
го ряда
[1;
n
p
#]
чисел, равных и кратных числам
1
p,
2
p, . . . ,
n
p
, в нем
останутся числа из первой строки таблицы кольцевой факторизации
n
-го порядка. При этом первая строка таблицы кольцевой факториза-
ции первого порядка имеет
2
−
1 = 1
число, первая строка таблицы
кольцевой факторизации второго порядка —
(2
−
1)
×
(3
−
1) = 2
числа,
92 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1