ρC
p
∂T
∂t
+
T
0
∂S
el
∂t
− r
(
k
r
T
) = 0
.
В случае гармонического разложения
T
=
T
(
x
i
) exp(
jωt
)
это урав-
нение принимает вид
−r
(
k
r
T
) =
Q
heat
,
где тепловой источник равен
Q
heat
=
−
jω
(
ρC
p
T
+
T
0
S
el
)
.
Основываясь на приведенных данных и [12–14], можно опреде-
лить добротность резонатора
Q
при термоупругих потерях (а значит,
и интенсивность внутреннего трения
Q
−
1
) на резонансных частотах
f
.
Для этого решается связанная задача на собственные значения термо-
упругости. Собственное значение представляет собой комплексную
величину (
−
λ
) =
δ
+
jω
, которая однозначно определяет резонансную
частоту колебаний
ω
и коэффициент затухания
δ
. Каждому собственно-
му значению соответствует свое гармоническое поле перемещений
u
.
Запишем соотношение для нахождения добротности резонатора
Q
на
резонансной частоте
f
в виде
Q
=
Im
(
λ
)
2
Re
(
λ
)
, δ
=
Re
(
λ
)
,
(6)
f
=
Im
(
λ
)
2
π
.
Расчеты на персональном компьютере (ПК) выполнялись в сре-
де программирования
COMSOL
.
COMSOL Multiphysics
— это мощная
интерактивная среда для моделирования и расчетов большинства на-
учных и инженерных задач, основанных на дифференциальных урав-
нениях в частных производных (ДУЧП) методом конечных элементов.
Программа позволяет изменять типы анализа, включая стационарный
и переходный анализ; линейный и нелинейный анализ; анализ соб-
ственных частот.
Для решения ДУЧП
COMSOL Multiphysics
использует метод конеч-
ных элементов (МКЭ). Программное обеспечение запускает конечно-
элементный анализ вместе с сеткой, учитывающей геометрическую
конфигурацию тел, и контролем ошибок с использованием разно-
образных численных решателей. Поскольку многие физические за-
коны выражаются в форме ДУЧП, становится возможным модели-
ровать широкий спектр научных и инженерных явлений из многих
областей физики, таких как акустика, химические реакции, диффузия,
электромагнетизм, гидродинамика, фильтрование, тепломассоперенос,
оптика, квантовая механика, полупроводниковые устройства и многих
других.
86 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 4
