Расщепление собственной частоты возникает из-за несимметрии
упруго-массовых свойств резонатора и равно разности собственных
частот резонатора.
Для улучшения качества резонатора необходимо учитывать те
аспекты, которые вызывают затухания и шумы в колебательной систе-
ме. Рассмотрим термоупругое внутреннее трение, которое оказывает
существенное влияние на добротность резонатора.
Термоупругое внутреннее трение связано с возникновением тепло-
вых потоков в материале при его периодической деформации [2–5].
Изменение объема тела при расширении или сжатии под действием
напряжения требует совершения некоторой работы (
W
), которая для
моля вещества равна разности теплоемкостей при постоянном давле-
нии (
С
р
) и постоянном объеме (
C
v
), и которая может быть выражена
через коэффициент линейного теплового расширения (
α
), молярный
объем вещества
V
и модуль Юнга
E
[6]:
W
=
C
p
−
C
v
= 9
α
2
T
0
EV.
(1)
При деформировании твердого тела локальная температура в раз-
личных его точках зависит от локальной деформации среды и между
“горячими” и “холодными” зонами будут возникать тепловые пото-
ки, интенсивность которых определяется теплопроводностью среды.
Эти потоки выравнивают локальные температуры тела и приводят к
необратимому превращению механической энергии в тепловую.
Для расчета термоупругого внутреннего трения
Q
−
1
предложены
следующие формулы [5]:
Q
−
1
≈
Δ
ω
ˉ
τ
1 + (
ω
ˉ
τ
)
2
; Δ =
ET
0
α
C
p
; ˉ
τ
≈
d
2
ς
,
(2)
где
ς
— коэффициент температуропроводности;
d
— расстояние, кото-
рое должен пройти тепловой поток;
ω
— круговая частота колебаний.
В работе [5] эти параметры рассчитаны для ряда металлов, причем
результаты довольно хорошо совпадают с экспериментальными дан-
ными. Отметим, что в кварцевых резонаторах термоупругие потери
тоже есть, но они крайне малы ввиду малого коэффициента темпера-
туропроводности кварцевого стекла.
Для моделирования термоупругого напряженного состояния в ре-
зонаторе необходимо решить связанную задачу термоупругости [7–
11]. В общем случае постановка задачи заключается в следующем.
Необходимо при заданных механических и тепловых воздействиях
определить шестнадцать функций координат и времени: шесть ком-
понент тензора напряжений
σ
ij
, шесть компонент тензора деформа-
ций
ε
ij
, три компоненты вектора перемещений
u
i
и температуру
Т
,
удовлетворяющих трем уравнениям движения, шести соотношениям
между напряжениями и деформациями, шести соотношениям между
84 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 4
