деформациями и перемещениями и уравнению теплопроводности при
определенных начальных и граничных условиях.
Соотношение между напряжениями и деформациями имеет вид
[10]
σ
= D
ε
el
=
D
(
ε
−
ε
th
)
,
(3)
где
D
— 6
×
6 тензор модулей упругости;
ε
el
,
ε
th
— векторы упругих и
температурных деформации;
σ
— вектор напряжений.
В случае изотропного тела (3) можно представить в виде [10, 11]
σ
x
σ
y
σ
z
σ
xy
σ
yz
σ
xz
=
E
(1 +
ν
)(1
−
2
ν
)
×
×
1
−
ν ν ν
0
0
0
ν
1
−
ν ν
0
0
0
ν ν
1
−
ν
0
0
0
0 0 0
1
−
2
ν
2
0
0
0 0 0 0
1
−
2
ν
2
0
0 0 0 0
0
1
−
2
ν
2
ε
x
−
α
(
T
−
T
0
)
ε
y
−
α
(
T
−
T
0
)
ε
z
−
α
(
T
−
T
0
)
ε
xy
ε
yz
ε
xz
.
(4)
Здесь
ν
— коэффициент Пуассона;
Т
— температура при изменении
напряженно-деформированного состояния;
Т
0
— температура при от-
сутствии напряженно-деформированного состояния.
Для определения температуры рассмотрим уравнение теплового
баланса
T
∂S
∂t
− r
(
k
r
T
) = 0
,
(5)
где
k
— теплоемкость,
S
— энтропия.
В случае термоупругого тела, энтропия
S
в единице объема опре-
деляется с помощью формулы
S
=
ρC
p
ln (
T/T
0
) +
S
el
,
где
ρC
p
— объемная теплоемкость, а составляющую
S
el
для изотроп-
ных материалов можно представить в виде
S
el
=
α
(
σ
x
+
σ
z
+
σ
z
)
.
Для малых приращений деформаций и температуры уравнение (5)
перепишем следующим образом
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 4 85
