Заданы ограниченный снизу функционал
J
=
t
f
Z
0
f
0
(x (
t
)
,
u (
t
))
dt
(4)
и область начальных состояний
X
0
R
n
.
(5)
Необходимо найти математическое выражение в виде
u = h (x)
,
8
t >
0
,
h (x (
t
))
U,
(6)
где
h (x)
— однозначное не обязательно непрерывное или дифферен-
цируемое отображение,
h (x) :
R
n
→
R
m
.
Искомое отображение (6) должно обладать следующим свойством:
8
x
0
2
X
0
решение
x (
t
)
системы
˙x = f (x
,
h (x))
с начальными усло-
виями
x (0) = x
0
2
X
0
(7)
должно удовлетворять терминальным условиям (3) и минимизировать
функционал (4) в том смысле, что если решить задачу оптимального
управления для тех же начальных значений (7), то значение функцио-
нала (4) будет таким же, как и при решении задачи синтеза:
J
x
0
,
˜h (x) =
J
x
0
,
˜u (
∙
)
,
(8)
где
˜h (x)
— решение задачи синтеза (1)–(6);
˜u (
∙
)
— решение задачи
оптимального управления (1)–(4), (7).
Основной особенностью задачи синтеза (1)–(6) является поиск од-
ной функции
h (x)
для всех начальных условий из заданной обла-
сти
X
0
.
Пусть множество начальных условий состоит из одной точки
X
0
= x
0
.
(9)
Тогда в постановке (1)–(4), (7) решение задачи оптимального управле-
ния существует.
Пусть мы имеем численный алгоритм, который решает задачу
оптимального управления (1)–(4), (7) с заданной точностью за конеч-
ное число шагов. Применяем этот алгоритм для каждого
˜x (
t
i
)
,
t
i
>
0
,
как для начального значения. Для значения
˜x (
t
i
)
получаем оптималь-
ное управление
˜u (
∙
)
. Возьмем из полученного управления первое
значение
˜u (
t
i
)
. Данное значение зависит от начальных условий или
от
˜x (
t
i
)
. Используем
˜u (
t
i
)
для получения
˜x (
t
i
+1
)
. После этого вновь
решаем задачу оптимального управления, считая
˜x (
t
i
+1
)
начальным
условием. Снова получаем
˜u (
t
i
+1
)
и т.д. В результате находим упра-
98 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 1
