Игру с функцией выигрыша
H
(
X, S, Y
) =
n
i
=1
m
j
=1
[
a
ij
+
f
ij
(
s
ij
)]
ξ
i
η
j
(8)
обозначим в виде четверки Г
S
= (
X, S, Y , H
)
.
Седловая точка в такой модели игрыдля задачи распределения ре-
сурсов существует всегда, это следует из теоремыНеймана с учетом
того, что функция (7) линейна по
X, Y
, множество вариантов распре-
деления ресурсов
S
— выпуклое ограниченное замкнутое,
X
и
Y
—
симплексы, а
f
ij
(
s
ij
) 0
— неубывающие непрерывные функции.
Решение задачи оптимального распределения ресурсов защи-
ты.
Рассмотрим построение одного из общих методов решения задачи
распределения ресурсов в условиях конфликта, описываемого моде-
лью игрыГ
S
.
Несложно показать, что игра Г
S
имеет свойство аффинной экви-
валентности. Тогда, используя это свойство, решение поставленной
задачи распределения ресурсов можно свести к решению стандартной
задачи нелинейного программирования.
Будем полагать, что все элементыматрицы
˜
A
положительны. Если
это не так, то можно сформировать аффинно-эквивалентную игру пу-
тем добавления ко всем элементам некоторого достаточно большого
числа.
Пусть
X
— произвольная стратегия первого игрока в игре Г
S
. Обо-
значим
δ
X,S
= min
j
n
i
=1
ξ
i
(
a
ij
+ Δ
a
ij
)
,
тогда из положительности элементов матрицы
˜
A
и свойств смешанной
тратегии следует, что
0
< δ
X,S
n
i
=1
ξ
i
(
a
ij
+ Δ
a
ij
)
, j
= 1
, m.
(9)
Для игрыГ
S
можно показать по аналогии с работой [6], что значение
игры
ω
∗
= max
X,S
min
j
(
n
i
=1
ξ
i
(
a
ij
+ Δ
a
ij
)) =
= min
Y
max
i
min
S
(
m
j
=1
η
j
(
a
ij
+ Δ
a
ij
))
,
причем внешние экстремумыдостигаются на оптимальных стратегиях
игроков.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 4 121
