Отметим, что применение
ММ
-критерия обеспечивает получение
максимального гарантированного, а
BL
-критерия — максимально-
го среднего выигрыша. Для исследования применения теоретико-
игрового подхода к распределению ресурсов остановимся на этих
двух критериях, поскольку они наиболее применяемыв практике.
Рассмотрим условия применения модели матричных игр (
ММ
-
критерия), т.е. условия, при которых возможна теоретико-игровая
оптимизация распределения ресурсов, обеспечивающая максималь-
ный гарантированный выигрыш первого игрока (ИЗ). Они следуют
из условия применения модели матричных игр в чистых стратегиях,
т.е. необходимо, чтобыматрица игры
˜
A
с элементами
˜
a
ij
(
s
ij
) =
a
ij
+
+
f
ij
(
s
ij
)
,
i
= 1
, n
,
j
= 1
, m
в результате распределения ресурсов
имела хотя быодну седловую точку.
Сформулируем две теоремы.
Теорема 1.
Пусть
a
ij
∗
a
i
∗
j
∗
a
i
∗
j
,
(2)
тогда для всех
˜
a
ij
, f
ij
и
S,
определенных ранее
,
если
S
∗
= arg max
S
(max
i
min
j
˜
a
ij
(
s
ij
))
(3)
при выполнении условия
(1)
,
˜
a
ij
∗
(
s
∗
ij
)
a
i
∗
j
∗
(
s
∗
ij
)
a
i
∗
j
(
s
∗
ij
)
.
(4)
Доказательство.
Для того чтобы соотношение (4) было верным,
необходимо и достаточно чтобывыполнялось равенство
˜
a
i
∗
j
∗
(
s
∗
ij
) = max
i
min
j
˜
a
i
j
(
s
∗
ij
) = min
j
max
i
˜
a
i
j
(
s
∗
ij
)
.
(5)
Поскольку выполняется условие (2), то
max
i
min
j
a
ij
= min
j
max
i
a
ij
,
(6)
кроме того, из уравнения (3) следует, что
max
i
min
j
˜
a
ij
(
s
∗
ij
) max
i
min
j
a
ij
и при любых
˜
a
ij
(
s
ij
) = ˜
a
ij
+
f
ij
(
s
ij
)
выполняется условие
max
i
min
j
˜
a
ij
(
s
ij
) max
i
min
j
˜
a
ij
(
s
ij
)
,
тогда выражение (5) является верным и, следовательно, выполняется
условие (4).
Теорема 2.
Пусть задана матрица
A
такая, что выполняется
условие
max
i
min
j
a
ij
−
max
i
min
j
a
ij
=
ρ.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 4 119
