10 / 17
Исходным является пропорциональность оценок плотностей веро-
ятностей:
f
1
=
cf
2
, или в развернутом виде
1
(2
π
)
n/
2
det
Cov
(1)
1
/
2
exp
−
1
2
a
(1)
ij
x
i
−
x
(1)
i
0
x
j
−
x
(1)
j
0
=
=
c
(2
π
)
n/
2
det
Cov
(2)
1
/
2
exp
−
1
2
a
(2)
ij
x
i
−
x
(2)
i
0
x
j
−
x
(2)
j
0
,
(1)
где
x
(1)
i
0
,
x
(2)
i
0
— оценки средних, а
a
(1)
ij
и
a
(2)
ij
— оценки элементов обрат-
ных ковариационных матриц. В результате получаем уравнение по-
верхности 2-го порядка (для
n
= 2
линии 2-го порядка). Это и есть
уравнение разделяющей поверхности (линии) Неймана – Пирсона
a
(1)
ij
x
i
−
x
(1)
i
0
x
j
−
x
(1)
j
0
−
a
(2)
ij
x
i
−
x
(2)
i
0
x
j
−
x
(2)
j
0
=
= ln
det
Cov
(2)
det
Cov
(1)
∙
c
2
!
.
(2)
Рассмотрим прямую линию, соединяющую центры выборок:
x
i
=
x
(1)
i
0
+
x
(2)
i
0
−
x
(1)
i
0
t
, где параметр
t
∈
[0; 1]
. Для
t
= 0
мы
находимся в центре первой выборки, а для
t
= 1
— в центре второй
выборки. Введем сокращенные обозначения:
l
i
=
x
(2)
i
0
−
x
(1)
i
0
6
= 0;
C
0
= ln
det
Cov
(2)
det
Cov
(1)
∙
c
2
!
;
α
i
=
a
(
i
)
mn
l
m
l
n
>
0
, i
= 1
,
2
.
(3)
Тогда уравнение для поиска точек пересечения прямой и поверхности
Неймана – Пирсона принимает вид
α
1
t
2
−
α
2
(
t
−
1)
2
=
C
0
.
(4)
Для
α
1
>
0
,
α
2
>
0
в интервале [0; 1] это уравнение имеет единствен-
ный корень
t
∗
при условии
−
α
2
< C
0
< α
1
:
t
∗
=
−
α
2
+
p
α
1
α
2
+ (
α
1
−
α
2
)
C
0
(
α
1
−
α
2
)
;
−
α
2
< C
0
< α
1
.
(5)
Подставляя полученное значение в уравнение прямой линии, полу-
чаем точку, в которой проводится искомая касательная плоскость (для
n
= 2
прямая линия):
x
∗
i
=
x
(1)
i
0
+
l
i
t
∗
. В случае совпадения ковариаци-
онных матриц знаменатель и числитель дроби равны нулю. Решением
при этом является середина отрезка
t
∗
= 0
,
5
(линейный дискриминант
Фишера).
58 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 4