т.е. расстояния между соседними значениями бифуркаций удвоения
уменьшаются в
1
/δ
раз с каждой бифуркацией. Постоянную
δ
называ-
ют постоянной Фейгенбаума. При
a >
3
,
57
бифуркации удвоения пе-
риода становятся столь частыми, что соответствующие им амплитуды
заполняют целые области бифуркационных диаграмм. Такое поведе-
ние системы соответствует динамическому хаосу. Необходимо иметь
в виду, что на бифуркационных диаграммах в светлых областях (так
называемых окнах Шарковского) колебания системы являются регу-
лярными. Если использовать отображение для систем связи с хаотиче-
скими несущими, то должны быть выбраны значения управляющего
параметра, отвечающие хаотическим режимам, поскольку именно они
обеспечивают конфиденциальную передачу информации.
Для установления хаотичности движения часто применяется
спек-
тральная плотность
(или, просто, спектр). Характер спектральной
плотности — один из самых простых и в то же время вполне надежных
критериев, используемых при анализе режимов колебания. Рассчиты-
вая ее численно или измеряя экспериментально, сравнительно легко
определить, каким является поведение системы — хаотическим, пери-
одическим или квазипериодическим. Например, если система демон-
стрирует периодическую динамику, то спектр такого движения будет
дискретным, состоящим из узких линий. Если же динамика системы
не является регулярной, то соответствующий спектр будет сплошным,
или непрерывным. Это и используется при спектральном анализе дви-
жения динамических систем.
Помимо показателей Ляпунова при изучении сложных колебатель-
ных режимов иногда используются
автокорреляционные функции
. Ав-
токорреляционной функцией называется среднее по некоторому вре-
менному интервалу
T
(при
T
→ ∞
) произведений
x
, взятых в два
различных момента времени
t
и
t
+
τ
:
R
(
τ
) = lim
T
→∞
T
−
1
T
0
x
(
t
)
x
(
t
+
τ
)
dτ.
В дискретных системах автокорреляционная функция (вернее, цен-
тральный корреляционный момент) определяется следующим обра-
зом:
R
(
m
) =
1
N
N
n
=1
(
x
n
−
x
ср
)(
x
n
+
m
−
x
ср
)
,
где
x
ср
— среднее значение амплитуды колебаний;
m
— временн´ой
сдвиг при единичномвременномпериоде дискретизации. На практике
часто используется нормированная корреляционная функция (КФ)
r
(
m
) =
R
(
m
)
R
(0)
.
18 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 1
