где
k
= 0
,
1
,
2
, . . .
— дискретное время (число тактов тактового генера-
тора);
f
(
z
)
— нелинейная функция, определяющая тип отображения;
a
(
k
)
— управляющий параметр, в общем случае зависящий от дискрет-
ного времени и способный нести в себе информационное сообщение.
Начальное значение
x
(0)
выделено в качестве отдельного аргумента
и может нести в себе также информационное сообщение. Возможны
многопараметрические одномерные отображения.
Состояние равновесия системы (1) определяется равенством
˜
x
=
=
f
(
a,
˜
x
)
, соответствующимпересечению в координатах
x
(
k
)
, x
(
k
+1)
графика отображения (1) с прямой
x
(
k
) =
x
(
k
+1)
. Точки пересечения
называют неподвижными точками.
Тип состояния равновесия определяется производной в точке рав-
новесия
μ
=
f
(
a, x
)
x
=˜
x
, называемой мультипликатором. Неустойчи-
вому состоянию равновесия (неподвижные точки — неустойчивые,
отталкивающие) соответствует неравенство
|
μ
|
>
1
, устойчивому —
|
μ
|
<
1
(неподвижные точки — устойчивые, притягивающие).
Число состояний равновесия определяется значениемуправляю-
щего параметра
а
. Значение параметра
а
, при которомпроисходит
потеря устойчивости, определяется решениемуравнения
f
(
a,
˜
x
) = 1
.
Хаотические колебания в дискретных системах возникают, если
все состояния равновесия являются неустойчивыми. Для таких систем
наблюдается экспоненциальное разбегание даже близких в начальный
момент фазовых траекторий.
Характерная особенность хаотических колебаний — это высокая
чувствительность к малымизменениямначальных условий. Близко
расположенные траектории экспоненциально разбегаются во време-
ни в отличии от регулярных траекторий, которые разбегаются лишь
линейно. Разбегание траекторий вследствие ограниченности энергии
системы или диссипативных процессов в системе не может продол-
жаться бесконечно, что и приводит к возникновению хаотических ко-
лебаний.
Точная количественная оценка скорости разбегания может быть
дана с помощью показателей Ляпунова. Средняя скорость разбегания
траекторий (показатель Ляпунова) определяется соотношением
λ
= lim
1
t
ln
d
(
t
)
d
(0)
,
(2)
где
d
(0)
— начальное расстояние между фазовыми траекториями;
d
(
t
)
— расстояние между фазовыми траекториями в момент времени
t
.
Для дискретной системы соотношение (2) преобразуется следую-
щимобразом:
16 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 1
