λ
=
1
n
ln
d
n
d
0
=
1
n
ln
f
n
(
x
0
+
d
0
)
−
f
n
(
x
0
)
d
0
=
1
n
ln
df
n
(
x
0
)
dx
0
=
=
1
n
ln
df
(
f
n
−
1
(
x
0
))
df
n
−
1
(
x
0
)
df
n
−
1
(
x
0
)
dx
0
=
=
1
n
ln
df
(
f
n
−
2
(
x
0
))
df
n
−
2
(
x
0
)
df
n
−
2
(
x
0
)
df
n
−
1
(
x
0
)
df
n
−
1
(
x
0
)
dx
0
=
. . .
=
=
1
n
ln
n
−
1
i
=0
df
(
x
i
)
dx
i
=
1
n
n
−
1
i
=0
ln
df
(
x
i
)
dx
i
,
где
n
— число итераций.
К этому выражению для показателя Ляпунова нетрудно прийти,
рассматривая
n
-ю итерацию как сложную функцию, примененную к
начальному значению аргумента
n
раз:
x
n
=
f
(
x
n
−
1
) =
f
(
f
(
x
n
−
2
)) =
. . .
=
f
(
f
(
f . . .
(
f
(
x
0
)))
. . .
)
,
где число скобок и знаков функции равно
n
.
Если показатель Ляпунова положителен, то близкие фазовые тра-
ектории расходятся и движение хаотическое. Причем, чем показатель
Ляпунова больше, тембыстрее расходятся траектории и темхаос боль-
ше (согласно этой мере его оценивания). Если показатель Ляпунова от-
рицателен, то траектории сближаются и движение регулярное. Таким
образом, показатели Ляпунова могут быть использованы для опре-
деления множества управляющих параметров, которые обеспечивают
хаотическое поведение НДС.
Наиболее отчетливо переход дискретной системы в хаотический
режимнаблюдается на
бифуркационных диаграммах
— зависимостях
амплитуды установившихся колебаний (т.е. для больших значений
n
)
от величины управляющего параметра. При увеличении параметра
a
до некоторых критических значений происходит потеря устойчивости
равновесия системы и, следовательно, возможности регулярных ко-
лебаний около состояния равновесия и переход к другому состоянию
равновесия путемудвоения периода колебаний. Такое явление называ-
ют бифуркацией удвоения периода. По мере увеличения
a
бифуркации
удвоения периода возникают все чаще. При этомпоследовательность
критических значений параметра
a
m
, при которых происходит удвое-
ние периода фазовой траектории, при больших значениях
m
удовле-
творяет соотношению
a
m
+1
−
a
m
a
m
−
a
m
−
1
→
1
δ
,
δ
= 4
,
6692
,
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 1 17
