Рис. 2. К определению профиля
показателя преломления
поверхность и не пропускающего тепло-
вой поток через основания (рис. 2).
С учетом последнего допущения для
стационарного случая количество энер-
гии (6), выделенное в единицу времени,
равно потоку, прошедшему через боко-
вую поверхность цилиндра [6]:
S
(
r
) =
W
п
(
r
) =
−
2
πrχ
∂T
∂r
=
=
α
r
Z
0
I
0
exp
−
2
r
0
2
r
2
0
2
πr
0
dr
0
.
(7)
Уравнение (7) представляет собой уравнение теплопроводности в ци-
линдрических координатах.
После однократного интегрирования соотношение (7) может быть
преобразовано к виду
−
rχ
∂T
∂r
=
1
4
αI
0
r
2
0
1
−
exp
−
2
r
2
r
2
0
.
(8)
Раскладывая экспоненту (профиль интенсивности)
exp (
−
2
r
2
/r
2
0
)
в
ряд Тейлора, проинтегрируем выражение (8) в приосевой области (т.е.
r
6
r
0
)
:
T
(
r
)
−
T
(0) =
−
αI
0
4
χ
r
2
.
(9)
Профиль показателя преломления также имеет параболическую за-
висимость (с учетом выражений (2) и (9)):
n
(
r
) =
n
(0) +
∂n
∂T
[
T
(
r
)
−
T
(0)]
)
n
(
r
) =
n
(0)
−
∂n
∂T
αI
0
4
χ
r
2
.
(10)
Таким образом, получаем следующее выражение для профиля по-
казателя преломления:
n
(
r
) =
n
(0)
−
αI
0
4
χ
∙
∂n
∂T
r
2
=
n
(0) +
n
2
(
r
)
r
2
.
С учетом выражения (10) для нелинейной составляющей показа-
теля преломления окончательно получаем выражение для фокусного
расстояния тепловой линзы
f
0
нл
=
1
2
ln
2
=
2
χ
αI
0
l
∂n
∂T
.
(11)
Из выражения (11) следует, что фокусное расстояние тонкой те-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 2 7
