Предположим, что запросы обслуживаются в порядке их поступ-
ления в систему. Иногда такая дисциплина выбора из очереди для
краткости кодируется как FIFO (First In – First Out — первым пришел
– первым обслужен) или, что означает то же самое, FCFS (First Came
– First Served).
Рассмотрим теперь СМО
М
|
М
|
1
|
n
, т.е. однолинейную систему с
буфером ограниченной емкости. Запрос из входящего потока, застав-
ший прибор занятым, ожидает начала обслуживания в буфере, если
в нем имеется свободное место. Если же все
n
мест для ожидания
заняты, запрос покидает систему необслуженным (теряется).
Обозначим
i
t
,
(
t >
0)
число запросов в системе в момент
t
. Этот
процесс может принимать значения во множестве
{
0
,
1
, . . . , n
}
. Не-
трудно убедиться, что процесс является процессом гибели и размно-
жения и ненулевые параметры
λ
i
,
μ
i
определяются следующим обра-
зом:
λ
i
=
λ
,
0
≤
i
≤
n
,
μ
i
=
μ
,
0
≤
i
≤
n
. Тогда, из формулы для
стационарных вероятностей процесса гибели и размножения следу-
ет, что стационарные вероятности числа запросов в рассматриваемой
системе имеют вид
π
i
=
ρ
i
1
−
ρ
1 +
ρ
n
+1
,
0
≤
i
≤
n.
(7)
Одной из важнейших характеристик систем, в которых возможна
потеря запросов, является вероятность
P
loss
того, что произвольный
запрос будет потерян. Для рассматриваемой СМО можно показать, что
вероятность потери произвольного запроса совпадает с вероятностью
того, что в произвольный момент времени все места для ожидания
заняты, т.е. справедлива формула
P
loss
=
ρ
n
1
−
ρ
1 +
ρ
n
+1
.
(8)
Формулу (8) можно использовать для планирования необходимого
размера буфера в зависимости от загрузки системы и значения допу-
стимой вероятности потери запроса в системе.
Отметим, что, в отличие от системы
М
|
М
|
1
, стационарное рас-
пределение числа запросов в данной системе существует при любых
конечных значениях коэффициента загрузки
ρ
. При
ρ
= 1
вычисления
по формулам (7) и (8) можно выполнить, используя правило Лопиталя.
Возникает закономерный вопрос, как будет вести себя управляе-
мый коммутатор, если уровень загрузки канала будет оставаться по-
стоянным, но размер кадра и длительность межкадровой паузы будут
изменяться. Дать ответ на этот вопрос, оставаясь в рамках классиче-
ских моделей на основе СМО, не представляется возможным, поэтому
84 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 3
