Параметр
ρ
, характеризующий соотношение интенсивности входя-
щего потока и интенсивности обслуживания и называемый коэффици-
ентом загрузки системы, играет важную роль в теории очередей.
Проверяя условие существования стационарного распределения
процесса
i
(
t >
0
), получим, что стационарное распределение числа
запросов в рассматриваемой системе существует, если выполняется
условие
ρ <
1
.
(2)
Будем далее считать это условие выполненным.
Отметим, что для большинства однолинейных СМО условие су-
ществования стационарного распределения числа запросов в системе
имеет вид (2), что хорошо согласуется с интуитивными соображения-
ми: для того чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь,
необходимо, чтобы запросы в системе в среднем обслуживались бы-
стрее, чем они туда поступают [1–4].
Итак, мы можем сформулировать следующее утверждение.
Стационарное распределение
π
i
(
i >
0
) числа запросов в системе
М
|
М
|
1
определяется следующим образом:
π
i
=
ρ
i
(1
−
ρ
)
, i
0
.
(3)
Отсюда следует, что вероятность
π
0
того, что в произвольный момент
времени система простаивает, равна
1
−
ρ
, а среднее число
L
запросов
в системе определяется формулой
L
=
∞
i
=0
iπ
i
=
ρ
1
−
ρ
.
(4)
Средняя длина
L
o
очереди определяется формулой
L
o
=
∞
i
=1
(
i
−
1)
π
i
=
L
−
ρ
=
ρ
2
1
−
ρ
.
(5)
В ситуациях, когда распределение интервалов во входящем пото-
ке и распределение времени обслуживания неизвестны, а известны
только их средние значения, формулы (4) и (5) иногда используют для
(грубой) оценки среднего числа запросов в системе и средней длины
очереди в произвольный момент времени.
Как отмечалось, интересной характеристикой СМО является также
распределение времени ожидания
ω
t
(т.е. времени с момента поступ-
ления в систему до момента начала обслуживания) запроса, поступив-
шего в момент
t
.
Обозначим
W
(
x
)
стационарное распределение процесса
ω
t
:
W
(
x
) = lim
t
→∞
P
{
ω
t
< x
}
, x
≥
0
.
(6)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 3 83
