Построение байесовской оценки для
K
-мерного вектора концен-
траций газов
n
будем проводить при следующих предположениях.
1. Шум измерения
ξ
подчиняется нормальному распределению,
некоррелирован с
Δ˜y
и имеет нулевое среднее значение и корреляци-
онную матрицу
V
ξ
.
2. Априорное распределение искомого вектора
n
также является
нормальным со средним значением
n
0
и корреляционной матрицей
N
0
.
3. Матрицы
V
ξ
и
N
0
обратимы.
При сделанных предположениях показано [7], что апостериорное
распределение
p
(n Δ˜y)
также является нормальным и байесовская
оценка
n
Б
вектора
n
совпадает с оценкой, определяемой из максимума
апостериорной плотности вероятности, и находится из следующего
уравнения:
(N
−
1
0
+ ΔK
т
V
−
1
ξ
ΔK)n
Б
= ΔK
т
V
−
1
ξ
Δ˜y + N
−
1
0
n
0
.
(7)
Здесь верхний индекс ”т” означает транспонирование матрицы,
верхний индекс “–1” — обратную матрицу.
Матрица системы уравнений (7) размера
K
×
K
положительно
определена, и поэтому для любого вектора
Δ˜y
существует единствен-
ная байесовская оценка
n
Б
[7]. Уравнение (7) может быть получено и
как первый шаг алгоритма калмановской фильтрации [7].
Отметим, что устойчивость полученного решения достигается су-
жением класса возможных решений и это сужение основывается на
априорной информации об искомом решении. Однако в отличие от ме-
тода регуляризации Тихонова форма введения априорной информации
здесь иная (задается априорное нормальное распределение искомого
решения и его первые два момента).
Для проверки работоспособности метода байесовских оценок в
задаче газоанализа и оценки точности определения этим методом кон-
центраций газовых компонент проводилось математическое модели-
рование для газовых смесей с числом компонент от трех до шести.
Математическое моделирование проводилось по замкнутой схеме.
По заданным значениям концентраций газов и коэффициентов погло-
щения рассчитывались приведенные измеряемые сигналы — правые
части системы уравнений (1). Полученные значения искажались слу-
чайными числами для имитации шума измерения. Шум моделировался
случайным процессом с нормальным законом распределения, нулевым
средним значением и заданной дисперсией. Полученные случайные
значения сигналов использовались для определения концентраций га-
зов по “данным измерений”. При математическом моделировании кор-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2008. № 2 55
