принятую функцию потерь. Второй класс объединяет методы, исполь-
зующие известную формулу Байеса, и оценки, полученные этими ме-
тодами, максимизируют апостериорную плотность вероятности.
При построении оценок на основе минимизации функции потерь
для характеристики качества построенной оценки вводят так называ-
емую функцию потерь
Π(n
,
˜n)
.
Вектор измеряемых сигналов
Δ˜y
является случайным, поэтому
оценка
˜n
, а следовательно, и значение функции потерь будут случай-
ными величинами. Мерой качества построенной оценки может слу-
жить усредненное значение потерь. Вводится понятие среднего рис-
ка [7]:
R
ср
(
T
) =
p
(n) Π(n
,
˜n)
p
(Δ˜y
|
n)
d
Δ˜y
d
n
,
(5)
где
p
(n)
— априорная плотность вероятности оцениваемого вектора
n
;
p
(Δ˜y
|
n)
— плотность вероятности вектора измерения
Δ˜y
при фикси-
рованном векторе
n
.
Оценка, доставляющая минимум среднему риску, называется бай-
есовской оценкой.
Большую роль при построении байесовских оценок играет так на-
зываемая апостериорная плотность вероятности
p
(n Δ˜y)
оценивае-
мого вектора
n
. Она определяет вероятность появления вектора
n
при
фиксированном векторе измерений
Δ˜y
. Из формулы Байеса (см., на-
пример, [9]) следует
p
(n Δ˜y) =
p
(Δ˜y
|
n)
p
(n)
p
(Δ˜y)
,
где
p
(Δ˜y)
— априорная плотность вероятности вектора
Δ˜y
.
Тогда для
R
ср
(
T
)
имеем
R
ср
(
T
) =
p
(Δ˜y) Π(n
,
˜n)
p
(n Δ˜y)
d
Δ˜y
d
n
.
(6)
Минимум
R
ср
(
T
)
можно найти из выражения (6), минимизируя
внутренний интеграл, так как только он зависит от алгоритма постро-
ения оценки решения.
Если априорное распределение
p
(n)
задано, но нельзя задать функ-
цию потерь или отдать предпочтение какой-либо из них, то оценка
решения определяется из условия максимума апостериорной плотно-
сти вероятности
p
(n Δ˜y)
. Если апостериорная плотность вероятности
p
(n Δ˜y)
унимодальна и симметрична, то полученная (из условия мак-
симума апостериорной плотности вероятности) оценка одновременно
является байесовской оценкой.
54 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2008. № 2
