где
l
— время, необходимое для прохождения волнового фронта через
исследуемую среду (от
0
до
L
);
x
— нормированная оптическая толщи-
на (
0
< x <
1
);
s
— нормированная временн´ая координата (
0
< s <
2
).
Полагая, что исследуемая среда является непоглощающей, можно
записать нелинейное дифференциально-интегральное уравнение, ко-
торому будут удовлетворять вложенные ядра
R
(
x, s
)
интегрального
преобразования [10, 11]:
∂R
(
x, s
)
∂x
−
2
∂R
(
x, s
)
∂s
=
=
−
1
2
A
(
x
)
s
Z
0
R
(
x, s
0
)
R
(
x, s
−
s
0
)
ds
0
,
s >
0;
R
(1
, s
) = 0;
s >
0;
R
(
x,
0) =
−
1
4
A
(
x
)
,
(5)
где
A
(
x
) =
−
d
dx
"
ln
1
p
ε
(
z
(
x
))
μ
0
! #
.
(6)
— функции, зависящие от профиля диэлектрической проницаемости
среды
ε
(
z
)
.
Для определения профиля диэлектрической проницаемости
ε
(
z
)
требуется сперва найти функцию
A
(
x
)
в ходе численного реше-
ния начальной краевой задачи с нелинейным дифференциально-
интегральным уравнением (5) и начальными условиями, записанными
на основе импульсного отклика среды
R
(
t
)
. Процедура численного
решения данной начальной краевой задачи подробно рассмотрена в
работе [8].
Зная функцию
A
(
x
)
, можно определить профиль диэлектрической
проницаемости среды
ε
(
z
(
x
))
в соответствии с выражением
z
(
x
) =
c
(0)
l
x
Z
0
exp
−
x
0
Z
0
A
(
x
00
)
dx
00
dx
0
,
0
< x <
1;
ε
(
z
(
x
)) =
ε
1
exp
2
x
Z
0
A
(
x
0
)
dx
0
,
0
< x <
1
.
(7)
Для повышения качества восстановления профиля диэлектриче-
ской проницаемости можно скорректировать функцию
A
(
x
)
с учетом
априорной информации о профиле. Ранее было отмечено, что диэлек-
трическая проницаемость должна быть постоянной, начиная с некото-
рой глубины
z
=
L
. Чтобы обеспечить выполнение данного условия,
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 2 41
