где
m
1
, m
2
— массы звеньев 1 и 2;
J
1
, J
2
— центральные моменты
инерции этих звеньев;
C
1
, C
2
— жесткости шарниров;
n
−
1
— ин-
декс, относящийся к переменной на предыдущем шаге численного
интегрирования;
t
— время;
h
— шаг интегрирования. Неизвестными
величинами в уравнениях (1)–(9) являются: векторы скоростей цен-
тров масс звеньев
V
1
, V
2
; векторы ускорений центров масс звеньев
dV
1
/dt
,
dV
2
/dt
; векторы линейных перемещений
x
1
, x
2
; угловые ско-
рости звеньев
ω
1
, ω
2
; угловые ускорения
dω
1
/dt
,
dω
2
/dt
; углы поворота
ϕ
1
, ϕ
2
; векторы сил реакций в шарнирах
F
S
1
, F
S
2
; вектор силы
F
P
, при-
кладываемой к точке 1; моменты соответствующих сил относительно
центров масс звеньев
M
(
F
S
1
)
,
M
(
F
S
2
)
,
M
(
F
p
)
.
Уравнения (1) и (2) — это уравнения Даламбера; (3) и (4) — уравне-
ния Эйлера; (5) — уравнения реакций в шарнирах; (6) и (7) — уравнения
метода численного интегрирования (связь скоростей и ускорений); (8)
и (9) — уравнения вычисления определенного интеграла (связь скоро-
стей и перемещений). Для повышения точности решения уравнений
(6) – (9) могут быть более высокого порядка.
Если вектор внешней силы
F
P
известен, то получаем замкнутую
систему алгебраических уравнений (на шаге интегрирования векторы
ускорений центров масс звеньев являются алгебраическими перемен-
ными). В этом случае, выполняя рекуррентную процедуру по индексу
n
, можно решить прямую задачу динамики. В результате определяем
значения перемещений, скоростей и ускорений как функций времени.
Аналогично строится математическая модель в большинстве перечи-
сленных выше программ анализа. Отличия могут быть в выборе век-
тора неизвестных. Система уравнений составляется автоматически по
описанию топологии механизма, для решения применяются высоко-
эффективные методы, учитывающие разреженность матриц коэффи-
циентов. При этом отсутствуют ограничения на вид кинематической
цепи (может быть как разомкнутой, так и замкнутой), а также на тип
связей (могут быть как голономными, так и неголономными).
Если вектор внешней силы
F
P
неизвестен, но известна траектория
движения точки 1:
x
x
2
+
r
cos
ϕ
2
−
x
x
з
(
t
) = 0;
x
y
2
+
r
cos
ϕ
2
−
x
y
з
(
t
) = 0
,
(10)
то совместно с уравнениями (1)–(9) вновь получаем замкнутую си-
стему уравнений. Решая эту систему уравнений, находим значения
перемещений, скоростей и ускорений, а также значение силы
F
P
, т.е.
имеет место обратная задача динамики. В (10)
x
x
2
,
x
y
2
— проекции
вектора перемещений звена 2 на оси координат;
x
x
з
,
x
y
з
— проекции
заданного вектора перемещений на оси координат;
r
— расстояние от
центра масс звена 2 до точки с заданной траекторией движения.
96 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 1
