Далее вычислим коэффициенты
α
ij
. Воспользуемся соотношения-
ми из работы [17]
π
0
sin(
z
sin(
x
)) sin
nx dx
= [1
−
(
−
1)
n
]
π
2
J
n
(
z
);
π
0
cos(
z
sin(
x
)) cos
nx dx
= [1 + (
−
1)
n
]
π
2
J
n
(
z
)
.
Тогда
α
ij
=
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
πA
[
J
m
−
n
(
mT
0
) +
J
m
+
n
(
mT
0
)]
при
i, j
четных
;
πA
[
J
m
−
n
(
mT
0
)
−
J
m
+
n
(
mT
0
)]
при
i, j
нечетных
;
πB
[
J
m
−
n
(
mT
0
) +
J
m
+
n
(
mT
0
)]
при
i
нечетном
, j
четном
;
πB
[
J
m
+
n
(
mT
0
)
−
J
m
−
n
(
mT
0
)]
при
i
четном
, j
нечетном
,
где
A
=
e
−
m
2
σ
2
/
2
cos(
mT
0
β
)
;
B
=
e
−
m
2
σ
2
/
2
sin(
mT
0
β
)
;
J
k
(
z
)
— функция
Бесселя первого рода порядка
k
. Очевидно, что
α
0
n
=
0
при
n
= 0;
2
π
при
n
= 0;
α
m
0
=
2
πAJ
m
(
mT
0
)
при
i
четном;
2
πAJ
m
(
mT
0
)
при
i
нечетном.
Из условия нормировки ПРВ определяем
π
−
π
W
N
(
x
)
dx
=
π
−
π
c
0
(
N
)
dx
= 2
πc
0
(
N
) = 1
,
отсюда следует
c
0
(
N
) = 1
/
(2
π
)
.
Запишем
m
-ю строку
c
m
системы в форме [9]
c
m
(
N
) = (
α
m
1
/
γ
m
)
c
1
(
N
)+
. . .
+(
α
mN
/
γ
m
)
c
N
(
N
)+(
α
0
m
/
γ
m
)
c
0
(
N
)
,
где
m
= 0
, N
. При
m
= 0
приходим к тождеству, поэтому система
уравнений содержит
N
строк (
m
= 1
, N
)
и может быть представлена
в матричном виде:
[I
−
A] C
∗
N
=
β
∗
N
,
где
I
— единичная матрица размером
N
×
N
;
A
— матрица с эл е-
ментами
α
mn
/γ
m
=
α
mn
/π
,
m, n
= 1
, N
;
C
∗
N
= [
c
1
(
N
)
, . . . , c
N
(
N
)]
т
— вектор;
β
∗
N
= [
β
1
, β
2
, . . . , β
N
]
т
— вектор;
β
m
= (
α
m
0
/γ
m
)
c
0
(
N
) =
=
α
m
0
/
2
π
2
.
Точное значение ПРВ находим в форме предельного соотношения
W
(
x
) = lim
N
→∞
W
N
(
x
)
,
тогда
W
(
x
) =
N
n
=0
c
n
(
N
)
ψ
n
(
x
) =
1
2
π
+
∞
n
=1
(
A
n
cos
nx
+
B
n
sin
x
)
,
(5)
где
A
n
, B
n
— расчетные коэффициенты.
118 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 4
