где
R
Σ
=
I
2
0
(
r
) + 2
υ
2
∞
n
=1
(
−
1)
n
I
2
n
(
r
)
n
2
+
υ
2
;
I
n
(
r
)
— модифицированная
функция Бесселя
n
-го порядка.
Из сравнения формул(2) и (3) следует очевидное преимущество
(3), тем более что ряд (3), как будет показано далее, быстро сходится.
Вычисление статистических характеристик дискретной ФАП
методом Галеркина.
Рассмотрим приближенный метод вычисления
ПРВ
W
(
x
)
на основе метода Галеркина [15, 16].
Пусть
W
(
x
)
≈
W
N
(
x
)
, W
N
(
x
) =
N
n
=0
c
n
(
N
)
ψ
n
(
x
)
,
где
{
ψ
n
(
x
)
}
(
n
= 0
,
1
,
2
, . . .
)
— полная система ортогональных на ин-
тервале
(
−
π, π
)
функций.
Коэффициенты
c
n
(
N
) (
n
= 0
, N
)
должны определяться из решения
системы линейных уравнений [9]
N
n
=0
(
α
mn
/γ
m
)
c
n
(
N
) =
c
m
(
N
);
m
= 0
, N,
(4)
где
γ
m
=
π
−
π
ψ
2
m
(
x
)
dx
,
α
mn
= (
l
m
(
z
)
, ψ
n
(
z
))
.
Возьмем в качестве системы ортогональных функций
{
ψ
m
(
x
)
}
систему тригонометрических функций
{
ψ
m
(
x
)
}
=
{
1; sin
x
; cos
x
;
sin 2
x
; cos 2
x . . .
}
. В этом случае
ψ
i
(
x
) =
cos
mx
при
i
четном;
sin
mx
при
i
нечетном;
m
=
i/
2
при
i
четном;
(
i
+ 1)
/
2
при
i
нечетном;
γ
m
=
2
π
при
m
= 0;
π
при
m
= 0
.
Вычислим скалярное произведение
l
m
(
z
) = (
q
(
z
)
, ψ
m
)
на всей чи-
словой оси значений
x
∈
(
−∞
;
∞
)
, т.е.
l
m
(
z
) =
∞
−∞
q
(
x
|
z
)
ψ
m
(
x
)
dx,
где
q
(
x
|
z
)
— переходная ПРВ, приведенная к интервалу
(
−
π
;
π
)
.
Тогда
l
m
(
z
) =
e
−
m
2
σ
2
/
2
cos (
m
[
z
−
T
0
(sin
z
−
β
)])
при
i
четном;
e
−
m
2
σ
2
/
2
sin (
m
[
z
−
T
0
(sin
z
−
β
)])
при
i
нечетном,
где
T
0
— нормированное время дискретизации.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 4 117
