5 / 13
Отказоустойчивые компьютерные сети, построенные на основе комбинаторных блок-дизайнов
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2016. № 6
45
Для этой матрицы можем проверить непосредственно, что
т
2 ,
AA I J
3 ,
AJ J
3 ,
JA J
где во всех равенствах
J
есть матрица размера 7
7.
Наиболее важное утверждение существования (при заданных параметрах
BIB-дизайна) для симметричных блок-дизайнов принадлежит Бруку, Райзеру и
Човла [1, 5, 6, 9].
Утверждение 1.
Если существует симметричный блок-дизайн
D
с парамет-
рами
n
,
k
,
,
то необходимо, чтобы
а
) для четногo
n
—
k
было квадратом;
б
) для нечетного
n
— уравнение
1 2
2
2
2
1
n
z k x
y
имело решение в целых числах
x
,
y
,
z
, не равных одновременно нулю.
Из утверждения 1 следует [1, 4], что некоторые из свойств симметричных
блок-дизайнов являются чисто матричными свойствами. Тогда утверждение 1
можно сформулировать следующим образом. Пусть
A
невырожденная веще-
ственная (
n
n
)-матрица, удовлетворяющая либо равенству
т
,
r
AA
I J
(4)
либо равенству
т
r
A A
I J
(5)
и, кроме того,
одному из равенств
,
k
AJ J
(6)
.
k
JA J
(7)
Тогда
A
удовлетворяет всем четырем соотношениям (4)–(7), a
n
,
k
,
удовле-
творяют уравнению
2
1 .
k k n
Существует несколько методов построения блок-дизайнов, которые можно
назвать рекурсивными методами. Во-первых, это метод композиции, при кото-
ром некоторая комбинация двух дизайнов
1
D
и
2
D
дает третий дизайн
3
.
D
Блок-дизайн с
3,
k
1
называется системой троек Штейнера [1, 3, 6−8].
Из основных соотношений (1) находим
,
b nr
2
1,
r n
и, следовательно,
2 1,
n r
2 1 .
b r r
Таким образом, в случае системы троек Штейнера
n
нечетно и либо
,
r
либо
2 1
r
кратны 3. Комбинируя эти условия, имеем, что либо
6 1
n t
(если
3 ),
r t