4 / 13
Г.П. Можаров
44
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2016. № 6
Любой блок-дизайн можно задать с помощью матрицы инциденций. Если
1
, ...,
n
a a
— элементы и
1
, ...,
b
B B
— блоки BIB-дизайна, то матрица инциденций
,
ij
a
A
где
1,
i
n
и
1, ,
j
b
определяется соотношением
1, если
,
0, если
.
i
j
ij
i
j
a B
a
a B
Между параметрами
,
n
,
b
,
r
,
k
блок-дизайна легко установить следую-
щие два соотношения:
,
bk nr
1
1 .
r k
n
(1)
Может случиться, что
,
b n
и, следовательно,
r k
(такой блок-дизайн
называется симметричным). Тогда первое из соотношений (1) обращается в
тождество, а второе сводится к выражению
1
1 .
k k
n
(2)
Исключим из рассмотрения тривиальный случай, когда
,
k n
т. е. случай,
когда каждый блок содержит все элементы.
Основными соотношениями для BIB-дизайна являются матричные уравне-
ния
т
1
,
n n b b
r
AА
I
J
,
n
b
k
A
J
J
(3)
где
т
A
— транспонированная матрица
;
A
I
— единичная (
n
n
)-матрица;
J
— (
n
n
)-матрица, все элементы которой равны единице;
n
J
и
b
J
— векторы
из
n
и
b
единиц. Каждая строка матрицы
A
содержит единицы ровно в
r
столбцах. Каждый столбец матрицы
A
содержит единицы ровно в
k
строках,
поскольку столбец указывает элементы, содержащиеся в отдельном блоке. Все
это можно выразить в терминах матриц.
Матрица инциденций, соответствующая блок-дизайну из семи элементов
1
7
, ...,
a a
и семи блоков
1
7
, ..., ,
b b
имеет вид
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
1 0 0 0 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 1
1 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0
0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1
b b b b b b b
a
a
a
a
a
a
a
A
.
Здесь, например, третья строка показывает, что элемент
3
a
появляется в блоках
2
,
b
3
,
b
7
,
b
а пятый столбец — что блок
5
b
содержит элементы
1
,
a
5
a
и
6
.
a