5 / 14
Перейдем к индексным обозначениям осей декартовой системы
координат, заменив
x
,
y
,
z
осями
x
1
, x
2
, x
3
. Используется теория тече-
ния и аддитивный подход к формированию приращений деформаций.
Математическая модель представляет собой уравнения равновесия,
обобщенный закон Гука, закон течения, соотношения Коши, крите-
рий текучести Мизеса, соотношение для расчета контактных давлений
расширенного метода Лагранжа, граничные условия
σ
ij,j
= 0;
ε
ij
=
1 +
ν
E
σ
ij
−
ν
E
δ
ij
σ
kk
;
dε
p
ij
=
s
ij
dλ
;
ε
ij
=
1
2
(
u
i,j
+
u
j,i
) ;
(
σ
1
−
σ
2
)
2
+ (
σ
2
−
σ
3
)
2
+ (
σ
3
−
σ
1
)
2
= 2Φ (
ε
p
)
2
;
p
(
x
i
) =
Kδ
+
λ, x
i
∈
S
O
4
;
σ
33
=
p, x
3
∈
S
N
1
;
u
1
(
x
2
) = 0
, u
2
(
x
1
) = 0
, x
1
, x
2
∈
S
N
2
+
S
O
2
;
u
i
(
x
3
) = 0
, x
3
∈
S
O
1
,
где
σ
ij
и
ε
ij
— декартовы компоненты тензоров напряжений и дефор-
маций;
u
i
— компоненты вектора перемещений;
E
— модуль Юнга;
ν
— коэффициент Пуассона;
δ
ij
— символ Кронекера;
s
ij
– девиатор
текущих напряжений;
σ
1
, σ
2
, σ
3
— главные напряжения;
dλ, λ
— мно-
жители Лагранжа;
Φ (
ε
p
)
— задаваемая функция кривой упрочнения
материала;
p
— контактное давление;
K
— контактная жесткость;
δ
—
зазор между контактирующими поверхностями;
σ
33
— компонент тен-
зора напряжений.
Контактирующие поверхности сформированы следующим обра-
зом. На ровные поверхности тел, параллельные плоскости
xy
, наносит-
ся сетка узлов размером 22
×
22, каждый из которых затем сдвигается
по нормали к поверхности на 0. . . 5 мкм в соответствии с масштаби-
рованной фрактальной функцией Веерштрасса –Мандельброта [22].
Принятые параметры функции: размер поверхности
L
= 0
,
0225
мм;
фрактальная шероховатость
G
= 1
∙
10
−
6
мм; фрактальная размерность
D
= 2
,
3
; масштабный параметр
γ
= 1
,
5
; число волн
M
= 10
; макси-
мальный номер частоты
n
max
= 17
; длина отсечки
L
s
= 1
∙
10
−
2
мм.
Полученная негладкая поверхность, использованная в расчетах, пока-
зана на рис. 1,
б
.
Материал тел медь М2 с модулем упругости
Е
= 120
ГПа и коэф-
фициентом Пуассона
μ
= 0
,
38
. Материал считаем изотропно упрочня-
ющимся, диаграмма пластического деформирования, взятая из работы
[23], аппроксимирована мультилинейной кривой с пределом текучести
σ
т
= 69
,
6
МПа. Поставленная задача решена методом конечных эле-
ментов. Для моделирования объема материала использованы изопара-
метрические конечные элементы SOLID227. Элементами CONTA174
покрыта нижняя поверхность, а TARGE170 — верхняя. Использован
контактный алгоритм на основе расширенного метода Лагранжа и не-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1 133