Применение квадратурной формулы в дифракционном моделирова
-
нии состоит в том
,
что по заданной в дискретном наборе точек ампли
-
туде поля на входной
(
левой
)
поверхности СП по формуле
(2)
опреде
-
ляется комплексная амплитуда поля в некоторой точке выходной
(
пра
-
вой
)
поверхности
.
При этом время вычисления напрямую зависит от
количества точек на левой поверхности
,
и это количество
,
естествен
-
но
,
следует минимизировать
.
В то же время
,
уменьшение числа точек
,
в которых задана подынтегральная функция
,
ниже некоторого их числа
приводит к снижению точности интегрирования этой функции
.
Следо
-
вательно
,
необходимо выбрать некоторое оптимальное число точек
.
Кроме того
,
нужно выбрать распределение узловых точек
,
в кото
-
рых задается подынтегральная функция при интегрировании
.
Наиболее
применимы две квадратурные формулы
:
формула с постоянным шагом
узловых точек
(
формула Ньютона
–
Коутса
)
и формула Гаусса
.
Известно
,
что формула Коутса не является оптимальной в смысле
быстродействия
[6],
так как обеспечивает при
m
узлах точное интегри
-
рование многочлена степени
m
−
1
.
При этом формула Гаусса при
m
узлах позволяет получить точный результат для многочлена порядка
2
m
−
1
,
поскольку координаты узлов интегрирования и веса соответ
-
ствующих им значений подынтегральной функции выбираются опре
-
деленным
(
достаточно сложным
)
образом
.
Проблемой при использовании формулы Гаусса является то
,
что
определить значение функции при точно заданной координате узла
возможно лишь для функций
,
заданных аналитически
.
Однако в по
-
дынтегральную функцию
,
помимо аналитической зависимости
,
опи
-
сывающей преобразование поля слоем пространства
,
входит также
распределение комплексной амплитуды входного поля
.
Это распреде
-
ление задается конечным набором значений
,
т
.
е
.
табулируется
.
Значе
-
ния в промежуточных точках могут быть определены только методом
интерполяции
.
Однако достичь высокой точности практически невоз
-
можно
(
она
,
в частности
,
зависит от выбранного алгоритма интерпо
-
ляции
),
поэтому конечная точность снижается
.
Кроме того
,
интерпо
-
ляционная процедура весьма трудоемка и сильно замедляет процесс
интегрирования
.
В связи с этим первая программа для дифракционного моделирова
-
ния
,
написанная в ходе исследований
,
отраженных в настоящей работе
,
была основана на формуле Коутса
.
Основной недостаток такого подхо
-
да становится очевиден при рассмотрении подынтегральной функции
в выражении
(1).
Например
,
для плоского СП она имеет вид
f
(
x, x
0
) =
U
(
x
) exp (
−
ikr
)
r
+
d
r
2
,
(
3
)
24 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Приборостроение
". 2004.
№
3
