Рис. 3. Точное решение уравнений (5)
с краевыми условиями (6) при раз-
личных
p
В отсутствие конвекции (
p
= 0
)
вместо (8) будем иметь распределение
температуры по линейному закону:
T
(0)
1
(
x
) =
−
(
T
C
−
T
H
)
x
L
+
T
H
;
T
(0)
2
(
x
) = (
T
C
−
T
H
)
x
L
+
T
H
.
(9)
Графики температуры в зависимо-
сти от параметра
p
показаны на рис. 3.
При значениях
p <
1
преоблада-
ет влияние диффузионной составляю-
щей, в то время как при
p >
1
более су-
щественный вклад оказывает конвек-
ция. При очень больших значениях линейной скорости
u
(т.е. при
p
1
)
температура остается близкой к
T
C
вплоть до достижения ближайшей окрест-
ности источника (
x
= 0
), где возникает пограничный слой и наблюдается ее
резкий рост до
Т
н
.
Расчет характеристик прибора.
Одним из главных вопросов при про-
ектировании теплового акселерометра является нахождение оптимального
расстояния между датчиками и нагревательным элементом. Для повышения
чувствительности прибора необходимо добиться максимального изменения
температуры на датчиках в расчете на единицу ускорения. Запишем выраже-
ния для разности температур между каждым из датчиков и нагревательным
элементом (рис. 4):
Δ
T
1
(
x
) =
T
1
(
x
)
−
T
(0)
1
(
x
) = (
T
C
−
T
H
)
exp(
px
)
−
1
exp(
−
pL
)
−
1
+
x
L
;
Δ
T
2
(
x
) =
T
2
(
x
)
−
T
(0)
2
(
x
) = (
T
C
−
T
H
)
exp(
px
)
−
1
exp(
pL
)
−
1
−
x
L
.
(10)
Для нахождения положения датчиков с максимальным откликом вычи-
слим производные выражений (10) по
x
, приравняем их к нулю и получим
x
1
=
1
p
ln
1
−
exp(
−
pL
)
pL
;
x
2
=
L
+
x
1
=
1
p
ln
exp(
pL
)
−
1
pL
.
(11)
Таким образом оптимальное расположение датчиков несимметрично от-
носительно центра и являлось бы функцией параметра
p
, а значит, внешнего
ускорения, определяющего скорость
u
. Учитывая это, будем искать опти-
мальное симметричное положение датчиков, т.е. максимизировать величину
Δ
T
(
x
) =
T
2
(
x
)
−
T
1
(
−
x
)
.
(12)
Подставим выражения (8) в (12) и найдем производную
d
Δ
T
dx
=
ch
p
(
x
−
L
)
−
ch
px
1
−
ch
pL
.
(13)
6 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
