датчиков, размерами
2
L
×
H
по горизонтали и вертикали соответственно.
Считаем, что на корпусе прибора поддерживается постоянная температура
Т
c
, а внутренний источник (нагревательный элемент) в стационарном режиме
нагрет до постоянной заданной температуры
Т
н
.
Стационарное уравнение конвекции-диффузии имеет вид [7]:
u
∂T
∂x
+
υ
∂T
∂y
−
D
∂
2
T
∂x
2
+
∂
2
T
∂y
2
=
f,
(1)
где
u
,
υ
— горизонтальная и вертикальная составляющие скорости вдоль
координат
x
,
y
;
T
(
x, y
)
— искомая температура;
D
— коэффициент диффузии;
f
(
x, y
)
— функция внутреннего источника теплоты.
Если вертикальный размер полости мал по сравнению с горизонтальным,
то, полагая пренебрежимо малыми производные температуры по переменной
y
, получаем одномерную модель:
u
∂T
∂x
−
D
∂
2
T
∂x
2
=
f
(
x
)
.
(2)
Рассматривая
p
=
u/D
как параметр отношения конвективной и диффу-
зионной составляющих теплопереноса, получаем
p
∂T
∂x
−
∂
2
T
∂x
2
=
f.
(3)
Уравнение (3) дополним симметричными граничными условиями Ди-
рихле:
T
(
−
L
) =
T
(
L
) =
T
C
.
(4)
Поскольку решение уравнения (3) в зависимости от функции
f
может
иметь достаточно громоздкий вид, используем следующий подход. Пусть
внутренний источник в центре области (интервала) имеет относительно ма-
лый линейный размер по сравнению с длиной
L
(точечный источник). На
подынтервалах
x
2
(
−
L,
0)
и
x
2
(0
, L
)
рассмотрим независимо две крае-
вые задачи, описываемые уравнениями
p
∂T
j
∂x
−
∂
2
T
j
∂x
2
= 0
, j
= 1
,
2
(5)
с краевыми условиями
T
1
(0) =
T
H
, T
1
(
−
L
) =
T
C
;
T
2
(0) =
T
H
, T
2
(
L
) =
T
C
.
(6)
Общее решение (5) имеет вид
T
i
(
x
) =
C
i
1
+
C
i
2
exp(
px
)
,
(7)
а решения краевых задач можно записать как
T
1
(
x
) = (
T
C
−
T
H
)
exp(
px
)
−
1
exp(
−
pL
)
−
1
+
T
H
;
T
2
(
x
) = (
T
C
−
T
H
)
exp(
px
)
−
1
exp(
pL
)
−
1
+
T
H
.
(8)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2 5
