Доказательство.
Вычислим производную функции
F
(
Aλ
)
в теку-
щей точке
z
t
=
Aλ
t
по направлению вектора
Δ
, все координаты кото-
рого равны нулю за исключением тех, которые отвечают маршрутным
потокам вдоль
L
и
L
t
и равны соответственно 1 и –1:
dF
(
Aλ
)
d
Δ
=
fA,
Δ =
ρ
(
L, z
t
)
−
ρ
(
L
t
, z
t
)
<
0
.
Шаг градиентного метода в направлении
Δ
в целях выравнива-
ния длин этих маршрутов приводит к уменьшению значения целевой
функции в задаче (5):
F
(
z
t
+1
)
< F
(
z
t
)
, t
= 0
,
1
, . . .
Монотонная числовая последовательность
{
F
(
z
t
)
}
сходится к
F
(
z
∗
)
, где
z
∗
— решение задачи (5). Согласно теореме 1
z
t
→
z
∗
,
t
→ ∞
. По следствию 1 в пределе получаем равновесную маршрути-
зацию.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Б е рт с е к а с Д., Г а л л а г е рР. Сети передачи данных. – М.: Наука, 1989.
2. В а с и л ь е в Н. С. О свойствах р ешений задачи мар шр утизации сети с вир-
туальными каналами // Вычисл. матем. и матем. физ. – 1997. – Т. 37, № 7. –
С. 785–793.
3. В а с и л ь е в Н.С. О свойствах р ешений задачидинамической маршрутизации
сети // Вычисл. матем. и матем. физ. – 1998. – Т. 38, № 1. – С. 42–52.
4. В а с и л ь е в Н. С., Ф е д о р о в В. В. О построении алгоритмов маршрути-
зации пакетных сетей на основе векторных критериев // Изв. РАН. Теория и
системы управления. – 2005. – № 3. – С. 36–47.
5. В а с и л ь е в Н. С. Задача о кр атчайших маршрутах в сетях с переменной
метрикой // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, Серия “Естественные науки”. –
2008. – № 1. – С. 70–75.
6. В а с и л ь е в Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.:
Наука, 1980.
7. И о ф ф е А. Д., Т и х о м и р о в В. М. Теория экстремальных задач. – М.:
Наука, 1974.
8. П о д и н о в с к и й В. В., Н о г и н В. Д. Парето-оптимальные решения мно-
гокритериальных задач. – М.: Наука, 1982.
9. Е м е л и ч е в В. А., М е л ь н и к о в О. И.,
С а р в а н о в В. И.,
Т ы ш к е в и ч Р. И. Лекции по теории графов. – М.: Наука, 1990.
10. Ф е д о ро в В. В. Численные методы максимина. – М.: Наука, 1979.
Статья поступила в редакцию 31.03.2008
Николай Семенович Васильев окончил МГУ им. М.В. Ломоносова в 1974 г. Д-рфиз.-
мат. наук, профессор кафедры “Высшая математика” МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор
более 50 научных работ в области теории оптимального управления и ммоделиро-
вания распределенных телекоммуникационных систем.
N.S. Vasiliev graduated from the Lomonosov Moscow State University in 1974. D. Sc
(Phis.-Math.), Professor of “Higher Mathematics” department of the Bauman Moscow
State Technical University. Author of more than 50 publications in the field of theory of
optimal control and simulation of distribute telecommunication systems.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2009. № 2 83
