Здесь хотя бы одно неравенство — строгое [8]. Поэтому равновесные
потоки
z
∗
таковы, что
z
=
z
∗
.
Из неравенства треугольника следует, что в равновесии
z
∗
l
>
0
(
l
= 1
,
2
, . . . , n
). Докажем, что
z
l
z
∗
l
, l
= 1
,
2
, . . . , n.
(9)
Если при маршрутизации
M
линия
l
не применяется для пере-
дачи продуктов, то соответствующее неравенство (9) очевидно вы-
полнено. Пусть теперь
z
l
>
0
,
l
= (
a, b
)
. Можно считать, что у тя-
готеющей пары
(
a, b
)
, номеркоторой
k
, имеется маршрут соединения
L
≡ {
(
a, b
)
} ∈
M
k
. Если это не так, то покажем, что существует марш-
рутизация
M
k
∈
R
(
M
k
)
, обладающая этим свойством. Тогда вместо
M
достаточно рассмотреть
M
.
Поскольку
z
l
>
0
, то найдется такая пара
k
, что
l
= (
a, b
)
∈
L
k
j
∈
∈
M
k
. Выберем величину
Δ
,
0
<
Δ
<
min
{
λ
k
j
, λ
k
j
}
, где поток
λ
k
j
проходит по такому маршруту
L
k
j
, что
l /
∈
L
k
j
∈
M
k
. Тогда часть
маршрутного потока
λ
k
j
, равную величине
Δ
, перебросим с маршру-
та
L
k
j
на
L
— новый для
k
-й пары маршрут соединения. Такую же
величину
Δ
, являющуюся частью потока
λ
k
j
, направим по маршруту
L
= (
L
k
j
\{
l
}
)
∪
L
k
j
, новому для пары
k
. Все остальные элементы
маршрутизации
M
оставим без изменения. В результате получена ис-
комая маршрутизация
M
,
M
∈
R
(
M
)
.
Согласно допущению (8) относительно маршрутизаций
M
,
M
∗
и
определению критериев (7) имеем
∀
l
= 1
,
2
, . . . , n f
l
(
z
l
) =
ρ
(
L, z
)
T
k
(
z
)
T
k
(
z
∗
) =
f
l
(
z
∗
l
)
.
Поскольку функции задержек монотонно возрастают, отсюда полу-
чаем неравенства (9),
z
=
z
∗
. Целевая функция задачи (5) монотонно
возрастает по каждой переменной
z
l
. Тогда из неравенства (9) следует
неравенство
F
(
z
)
< F
(
z
∗
)
, противоречащее тому, что
z
∗
— минимум
целевой функции задачи (5). Теорема 2 доказана.
Устойчивость решения.
Исходные данные модели обычно имеют
некоторую неопределенность. Возникает необходимость исследовать
устойчивость искомого решения. В рассматриваемой модели будем ва-
рьировать все параметры с помощью изменения
c
= (
λ
0
, z
)
— вектора,
составленного из значений входных потоков и пропускных способно-
стей линий ТС.
Задержки в сети и целевая функция (5) — это функции переменных
z
,
c
, а многогранник потоков — значение многозначного отображения
c
→
Z
(
c
)
. Предполагается, что параметр
c
изменяется в пределах мно-
жества
C
, такого, что при
c
∈
C
выполняются все условия теоремы 1
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2009. № 2 81
