Введем необходимые обозначения:
h
— размер конечного элемента;
i, i
−
1
, i
+1
, . . .
— номера узлов конечно-элементной сетки;
j, j
−
1
, j
+
+ 1
, . . .
— номера конечных элементов;
q
i
, q
i
−
1
, q
i
+1
, . . .
— продольные
силы, действующие на конечные элементы длиной
h
(значения погон-
ной силы).
Запишем функцию Лагранжа двухэлементной системы как
L
=
Э
−
A,
(9)
где
Э
— энергия деформации этой системы;
A
— работа сил, прило-
женных к этой системе.
Условие минимума функции Лагранжа имеет вид
δL
= 0;
δ
Э
−
δA
= 0;
(10)
здесь
δ
— знак вариации при изменении положения узла
i
.
Энергия деформации двухэлементной системы описывается урав-
нениями [2]
Э
=
Э
j
−
1
+
Э
j
,
(11)
Э
=
πDδ
т
h
2
(
σ
j
−
1
ε
j
−
1
+
σ
j
ε
j
) =
πDδ
т
hE
2
ε
2
j
−
1
+
ε
2
j
.
Используя выражения для деформаций
ε
j
−
1
=
dw
dz
=
w
i
−
w
i
−
1
h
;
ε
j
=
w
i
+1
−
w
i
h
,
(12)
продолжаем преобразование выражений для
Э
и
δ
Э
:
Э
=
π D δ
т
hE
2
·
1
h
2
(
w
i
−
w
i
−
1
)
2
+ (
w
i
+1
−
w
i
)
2
;
(13)
δ
Э
=
d
Э
dw
i
δw
i
.
(14)
Здесь варьируем только положением центрального узла при “закреп-
ленных” положениях всех других узлов, поэтому в качестве перемен-
ного выступает только
w
i
:
δ
Э
=
πDδ
т
hE
h
2
(2
w
i
−
w
i
−
1
−
w
i
+1
)
δw
i
.
(15)
Вариация работы внешних сил при изменении положения узла
i
δA
=
hq
i
δw
i
.
(16)
Подставив выражения (15) и (16) в (10), получим
πDδ
т
hE
h
2
(2
w
i
−
w
i
−
1
−
w
i
+1
)
δw
i
−
hq
i
δw
i
= 0;
δ
т
E
h
2
(2
w
i
−
w
i
−
1
−
w
i
+1
)
−
q
i
= 0;
98 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 3
