где
q
z
— распределенная по площади поверхности трубы продольная
сила со стороны окружающего грунта (реакция грунта в продольном
направлении, отнесенная к единице длины трубы).
В данной задаче силы
q
z
,
Q
и
dQ
направлены параллельно оси
трубопровода.
Сила, с которой действуют на элемент
dz
остальные части трубо-
провода (слева и справа):
dN
=
πDδ
т
dσ,
(3)
где
D
— наружный диаметр трубопровода;
δ
т
— толщина трубы;
σ
—
продольное напряжение, определяемое как
σ
=
Eε
=
E
dw
dz
,
здесь
E
— модуль деформации стали;
ε
— относительная деформация;
w
— продольное смещение трубы.
Условие равновесия элемента длиной
dz
имеет вид
dQ
+
dN
= 0
.
(4)
Преобразуем зависимость (4) с учетом (2) и (3):
dzq
z
+
πDδ
т
dσ
= 0;
dσ
dz
=
−
q
z
πDδ
т
.
Получаем дифференциальное уравнение смещения трубопровода при
продольном сдвиге грунта
d
2
w
dz
2
=
−
q
z
πDEδ
т
(5)
Решение уравнения зависит от вида функции
q
z
, описывающей
распределение сил сцепления между грунтом и трубопроводом, кото-
рые возникают из-за продольного сдвига грунта относительно трубы.
Характер этих сил показан на рис. 5.
Рис. 5. Моделирование реакции грунта при продольном сдвиге:
а
— расчетная схема;
б
— реакция грунта
96 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 3
