где
f
и
— векторное представление ожидаемой спектральной функции
элемента изображения;
s
k
—
k
-я составляющая векторного предста-
вления реперных компонентов;
b
k
— веса (доли) реперных компонен-
тов;
M
— число реперных компонентов;
e
— вектор ошибки, обусло-
вленный шумами прибора и неизвестными веществами; т — оз начает
транспонирование.
C помощью формул (4) спектральная функция приводится к век-
торному виду, а далее полученный вектор
f
и
проецируется на под-
пространство, образованное реперными компонентами. В результате
проецирования возникает векторная проекция
f
п
и ортогональный ей
вектор
e
.
Вектор
e
обязан своим происхождением наличию шумов прибора
и недостаточному числу реперных компонентов. Если бы вектор
f
и
лежал в подпространстве векторов реперных компонентов, то ошиб-
ка
e
была бы равна 0, т.е. линейная комбинация векторов реперных
элементов полностью бы описывала вектор спектральной функции
исследуемого элемента изображения. Для ошибки разложения можно
записать
e =
x
−
x
п
=
x
−
S
·
b.
(5)
В силу того, что вектор ошибки
e
ортогонален всем векторам ре-
перных компонентов, то имеет место следующее равенство:
S
т
e =
S
т
(
x
−
x
п
) = 0
,
(6)
где
S
т
— транспонированная матрица.
Или, если воспользоваться выражением (4),
S
т
(
x
−
S
·
b
) = 0
.
(7)
Преобразовывая равенство (7), получим
b
= (
S
т
S
)
−
1
S
т
x
=
P
S
x,
где
P
S
— матрица проецирования на подпространство реперных ком-
понентов;
Аналогично, вектор ошибки
e
можно выразить, используя матрицу
проецирования ошибки
P
E
:
e =
x
−
x
п
=
P
E
x,
P
E
= E
−
P
S
,
E
— единичная матрица.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 4 33
